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Line Integrals
三种基本的曲线积分种类
line integrals with respect to arc length
求曲线长度的积分一目了然: L=∫bads ,其中的 ds=(dx)2+(dy)2−−−−−−−−−−−√=(dxdt)2+(dydt)2−−−−−−−−−−−−√dt . 根据这个我们有了对弧长的线积分,它的基本形式如下:
∫Cf(x,y)ds
从上面的曲线积分中可以看出,它的积分是一重的,而 differential 却有2个,因此我们一定需要参数化方程,从而去掉一个变量,在上面求曲线长度的积分中,变量 x,y 被参数化成了一个变量 t 。下图是我从 Paul’s Online Math Notes 截下来几种基本曲线的参数方程形式:
对于 piecewise smooth curves(比如下图) 来说,它的计算也很简单,就是把各个部分的积分累加起来,公式如下:
关于这种类型的曲线积分有以下2种性质:
- Not Path-independence. 起点终点相同,但是积分路径不同,会导致不同的积分结果
- 在同一条积分路径上,积分方向不会影响积分结果
line integrals with respect to x, y, and/or z
The line integral of f with respect to x is,
∫Cf(x,y)dx
The line integral of f with respect to x is,
∫Cf(x,y)dy
从上面的定义可以看出,它和对弧长的线积分唯一不同就是 differential. 上面的2种积分经常一起出现,因此通常用下面的 notation 去表示它们:
∫CP(x,y)dx+∫CQ(x,y)dy=∫CPdx+Qdy
对于这种类型的积分来说,积分方向相反会导致积分的结果相反,因此得到如下3种表达:
∫Cf(x,y)dx=−∫−Cf(x,y)dx∫Cf(x,y)dy=−∫−Cf(x,y)dy∫CPdx+Qdy=−∫−CPdx+Qdy
Line Integrals of Vector Fields
下图中是关于 Vector Fileds 的定义:
这种类型的积分定义如下:
∫CF⃗ ⋅dr⃗ =F⃗ ⋅T⃗ ds
- 上述公式中的 F⃗ 是 vector field, F⃗ (x,y,z)=P(x,y,z)i⃗ +Q(x,y,z)j⃗ +R(x,y,z)k⃗
- 上述公式中的 r⃗ 是位置向量, r⃗ =x(t)i⃗ +y(t)j⃗ +z(t)k⃗
- T⃗ 是轨迹各处的切线方向, ds 是 dr⃗ 的大小
那么我们如何求解这种类型的线积分呢?可以直接用下图中推导出的结果来求:
上图之所以 ds=||r′→(t)||dt ,是因为 speed 乘以时间等于路程。文章中 的例子给出了用这种方法求解的例子,很简单。
上面介绍的方法是直接求解,我们还有另一种方法也可以求解。由于 F⃗ =⟨P,Q,R,⟩,dr⃗ =⟨dx,dy,dz⟩ ,因此得:
∫CF⃗ ⋅dr⃗ =∫CPdx+Qdy+Rdz
从上面的结果可以看到,它同时也是一个 line integrals with respect to x, y, and z,因此这给我们另一种求解的方式。由于它也属于对坐标的线积分,因此它也具体如下性质:
沿路径积分的方向相反会导致积分结果相反
上述介绍的只是冰冷的公式,而 MIT 的教授在课上给出了物理意义,在下面的小节中,我把这些物理意义总结下来。
Fundamental Theorem for Line Integrals
In Calculus I we had the Fundamental Theorem of Calculus that told us how to evaluate definite integrals. This told us,
∫baF′(x)dx=F(b)−F(a)
这个定理与之类似。定理内容摘自 Fundamental Theorem for Line Integrals,同时这篇文章的内容也给出了定理的证明:
If F⃗ =∇f is a gradient field and C is any curve with endpoints
P
版权声明:本文标题:MIT 18.02 多变量微积分总结(Part II) 内容由热心网友自发贡献,该文观点仅代表作者本人, 转载请联系作者并注明出处:https://www.elefans.com/xitong/1729813045a1213559.html, 本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,一经查实,本站将立刻删除。
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