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Introduction
相信很多人在看张正友教授的经典论文:A flexible new technique for camera calibration的时候,都会遇到一个问题,就是在2.4 Geometric Interpretation 部分,会发现看不懂,因为涉及到一个新的概念:Absolute Conic(绝对二次曲线)。
一个通用的解决方法是去看Multiple view Geometry那本书,如果不想去花太多时间,可以看看我的一个总结。
Absolute Conic Ω ∞ \Omega_\infty Ω∞
这个概念是问题的关键,翻译过来叫做绝对二次曲线。
二次曲线大家都不陌生,是指如椭圆、双曲线等二次曲面与平面的交线,在射影几何中,他们可以和一个对称矩阵一一对应,也就是代数表示,这边可以参考传送门。
AC作为二次曲线有两个很特殊的点:
- 他在无穷远平面上
- 他由虚数点构成
首先,因为他在无穷远平面
π
=
(
0
,
0
,
0
,
1
)
\pi=(0,0,0,1)
π=(0,0,0,1)上,所以构成他的点
x
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
)
T
x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T
x=(x1,x2,x3,x4)T满足
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
=
0
x
4
=
0
x_1^2+x_2^2+x_3^2=0 \\ x_4=0
x12+x22+x32=0x4=0
所以他是由虚数点构成的。
由二次曲线与点的公式
x
T
C
x
=
0
x^TCx=0
xTCx=0,我们可以发现AC对应的矩阵是单位阵
C
=
I
C=I
C=I。
考虑摄像机矩阵对AC的作用
先考虑无穷远点
x
=
(
d
T
,
0
)
T
x=(d^T,0)^T
x=(dT,0)T,摄像机矩阵为:
P
=
K
[
R
∣
t
]
P=K[R|t]
P=K[R∣t],我们有:
所以这其实是一个单应变换,在这个变换下,AC就变为:
这就是绝对二次曲线的像。
与张氏标定法的联系
张氏标定法的核心是这两个式子:
我们就可以看到他其实是在用单应来确定IAC,一旦IAC确定后,相机的标定参数就可以给出,从而完成标定。
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