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Abstract: 从小学解方程的消元开始,推导出线性代数的知识,包括先关矩阵计算
Keywords: Eliminate 消元,Pivot 主元,Row Exchange 行交换,Upper Triangular 上三角矩阵
消元
小学老师教我们解方程,受限就是把两个未知数变换成一个未知数,或者说用另一个未知数来表示当前未知数。
x
+
y
=
1
x
−
y
=
0
x+y=1\\ x-y=0\\
x+y=1x−y=0
我们会把第一个方程变形,然后和第一个方程做减法或者加法计算
−
x
−
y
=
−
1........
(
1
t
e
m
p
)
-x-y=-1........(1_{temp})
−x−y=−1........(1temp)
左右同时和(2)相加
−
2
y
=
−
1.........
(
2
)
-2y=-1.........(2)
−2y=−1.........(2)
当这步完成时,第一步方程没变,我们减去的变形版本是个中间版本,所以方程组:
x
+
y
=
1
0
x
+
y
=
1
2
x+y=1\\ 0x+y=\frac{1}{2}
x+y=10x+y=21
消元的顺序很多,这个只是我的习惯,不过和线性代数书上刚好差不多,经过消元,我们得到了Upper Triangular Matrix
A
=
[
1
1
0
1
]
A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1 \end{bmatrix}
A=[1011]
上三角矩阵(Upper Triangular Matrix)
只有对角线,及对角线上方数字不为0,其他部分都是0的矩阵
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
22
⋯
a
2
n
⋱
⋮
a
n
n
)
\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ &a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & &a_{nn} \end{array}\right)
⎝⎜⎜⎜⎛a11a12a22⋯⋯⋱a1na2n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎞
没错,a不能全为0
消元的最后终结果就是上一篇中的
A
x
=
b
A\textbf{x}=\textbf{b}
Ax=b 变成了
U
x
=
c
U\textbf{x}=\textbf{c}
Ux=c
带回(Back Substitution)
从最后一行开始,把未知数一个个回带解出来
主值(Pivot)
消元过程中,我们要看列的未知数,和未知数的系数,策略就是首先干掉第一行一下的所有的第一个未知数,通过对第一行进行缩放,来得到中间(temp)表达式,使得第一行下面的所有行的第一个未知数全部消失,然后对第二行做类似的操作,消掉第二行以下的所有第二个未知数。最后是系数矩阵白城上三角矩阵。
那么问题来了,有的时候,你消元到第二行的时候,第二个未知数在刚才的消元过程中牺牲了,顺带也给干掉了,很不幸,我们这时候为了得到标准的上三角矩阵,肯定要用其他行(第一行不行)的方程和第二行的方程进行置换,来保证第二个未知数存在。
在消元过程中,系数矩阵每行中第一个不为0的数字叫主元(pivot)
消元后,主元在主对角线上。
eg:
上面upper triangular matrix的对角线元素就是主元。
注意:主元不等于零,如果一行全是0,那么没有主元。
消元过程中当前行乘以某个系数得到temp过程中,系数
l
i
j
=
e
n
t
r
y
t
o
e
l
i
m
i
n
a
t
e
i
n
r
o
w
i
p
i
v
o
t
i
n
r
o
w
j
l_{ij}=\frac{entry\,to\,eliminate\,in\,row\,i}{pivot\,in\,row\,j}
lij=pivotinrowjentrytoeliminateinrowi
Pivot in Row j 就是当前的主元
如果主元个数小于未知数个数,又会引出一个新的概念,***singular***后面再说
消元失败(Eliminate Faile)
消元失败,我们记得解方程会有两种特殊情况,一种是无数个解,一种是没有解。
比如你有三个方程,两个未知数,就很有可能没有解
如果你有一个方程,两个未知数,肯定有英菲尼迪个解
但是这个描述是小学的,根据back substitution的过程,我们确定,方程解的个数和pivot直接相关:
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总结
消元那步看不懂,就想象着把矩阵变成三角的,然后按照这个思路自己写个方程试试,过程中感受下主元的威力,主元是个非常重要的概念,用处特别多。。。
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