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一.Homography matrix
单应 ( homography )也叫射影映射,保线变换或射影变换。
在空间中同一平面的任意两幅图像通过单应性关联在一起(假定是针孔相机)。假设在一个图中的点
x
x
x的坐标是
(
u
,
v
,
1
)
(u,v,1)
(u,v,1),与其相对应匹配点
x
′
x'
x′的坐标是
(
u
′
,
v
′
,
1
)
(u',v',1)
(u′,v′,1),单应性矩阵
H
H
H。则有
x
=
H
x
′
x=Hx'
x=Hx′,即:
(
u
v
1
)
=
(
h
11
h
12
h
13
h
21
h
22
h
23
h
31
h
32
h
33
)
(
u
′
v
′
1
)
\begin{pmatrix} u\\ v\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13}\\ h_{21}& h_{22} &h_{23} \\ h_{31}& h_{32} & h_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u'\\ v'\\ 1 \end{pmatrix}
⎝⎛uv1⎠⎞=⎝⎛h11h21h31h12h22h32h13h23h33⎠⎞⎝⎛u′v′1⎠⎞
应用单应性关系的几种情况
- 场景是平面,或者近似平面,或者低视差时。
- 当且仅当相机是绕相机中心旋转,没有偏移,基线(baseline)什么的都是零,单应性矩阵才是有效的。(baseline为0)
- 当两个相机所代表的视平面(image plane)相互平行,单应性矩阵才是有效的。(基线(baseline)不为0,但是极点在无穷远)
上面我们介绍了点的变换,还想了解下直线变换与二次曲线变换,可以看下射影变换。
射影变换可以看作是一些列变换的组合:
H
=
H
S
H
A
H
P
=
(
s
R
t
0
T
1
)
(
K
0
0
T
1
)
(
I
0
V
T
v
)
=
(
A
t
V
T
v
)
H=H_SH_AH_P=\begin{pmatrix} sR & t\\ 0^T &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} K &0 \\ 0^T &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & 0\\ V^T & v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A &t \\ V^T & v \end{pmatrix}
H=HSHAHP=(sR0Tt1)(K0T01)(IVT0v)=(AVTtv)
其中 H S H_S HS是相似变换矩阵, H A H_A HA是仿射变换矩阵, H P H_P HP也是一个射影变换矩阵。可以看下变换的层次进一步了解。
二.Essential matrix
本质矩阵(Essential matrix)是归一化图像坐标下的基本矩阵的特殊形式。其参数由运动的pose决定,与相机内参无关;本质矩阵在位姿估计和相机标定上很有用。
假设在一个图中的点 x x x的坐标是 ( u , v , 1 ) T (u,v,1)^T (u,v,1)T,与其相对应匹配点 x ′ x' x′的坐标是 ( u ′ , v ′ , 1 ) T (u',v',1)^T (u′,v′,1)T,单应性矩阵 H H H。则有 x T E x ′ = 0 x^TEx'=0 xTEx′=0,即:
( u v 1 ) ( e 11 e 12 e 13 e 21 e 22 e 23 e 31 e 32 e 33 ) ( u ′ v ′ 1 ) = 0 \begin{pmatrix} u & v & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13}\\ e_{21}& e_{22} &e_{23} \\ e_{31}& e_{32} & e_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u'\\ v'\\ 1 \end{pmatrix}=0 (uv1)⎝⎛e11e21e31e12e22e32e13e23e33⎠⎞⎝⎛u′v′1⎠⎞=0
因为 E = t ∧ R E=t^\wedge R E=t∧R,由于平移和旋转各3个自由度共有6个自由,但考虑到尺度等价性,故E实际上有5个自由度。求出 E E E后就可以采用奇异值分解(SVD)恢复出相机的运动 R , t R,t R,t。
三.Fundamental matrix
对两幅图像中任何一对对应点
x
x
x和
x
′
x'
x′基本矩阵(Fundamental matrix)F都满足条件:
x
T
F
x
′
=
0
x^TFx'=0
xTFx′=0
E E E和 F F F关系: F = K − T E K − 1 F=K^{-T}EK^{-1} F=K−TEK−1
其中 K K K为相机内参矩阵。
因为 E E E和 F F F只差个相机内参,而SLAM中相机通常都标定过,内参已知。所以实践中常用 E E E。想要了解它们更多特性可以看下对极几何和基本矩阵。
本文标签: HomographySLAMessentialMatrixfundamental
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