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2024年1月13日发(作者:)
函数的概念与性质
1函数的概念:一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y与它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作yf(x),xA,其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域,值域是集合B的子集.
2函数的三要素:定义域、对应关系、值域.
求函数定义域的原则:
(1)若fx为整式,则其定义域是R;
(2)若fx为分式,则其定义域是使分母不为0的实数集合;
(3)若fx是二次根式(偶次根式),则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合;
(4)若fxx0,则其定义域是xx0;
(5)若fxaxa0,a1,则其定义域是R;
(6)若fxlogaxa0,a1,则其定义域是xx0;
(7)若f(x)tanx,则其定义域是{x|x2k,kZ};
求函数值域的方法:配方法,换元法,图象法,单调性法等;
求函数的解析式的方法:待定系数法,换元法,配凑法,方程组法等;
3函数的表示方法:解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系).
4分段函数:在定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有不同对应关系的函数.
5函数的单调性:
(1)单调递增:设任意x1,x2D(DI,I是fx的定义域),当x1x2时,有f(x1)f(x2).特别的,当函数在它的定义域上单调递增时,该函数称为增函数;
(2)单调递减:设任意x1,x2D(DI,I是fx的定义域),当x1x2时,有f(x1)f(x2).特别的,当函数在它的定义域上单调递增时,该函数称为减函数.
6单调区间:如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性,区间就叫做函数的单调区间,单调区间分为单调增区间和单调减区间.
7复合函数的单调性:同增异减.
8函数的最大值、最小值:一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:xI,都有f(x)M(f(x)M);x0I使得f(x0)M,那么称M是函数的最大(小)值.
9函数的奇偶性:
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偶函数:一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果xI,都有xI,且f(x)f(x),那么函数叫做偶函数;偶函数的图象关于y轴对称;偶函数yf(x)满足f(x)f(x)f(|x|);
奇函数:一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果xI,都有xI,且f(x)f(x),那么函数叫做奇
函数;奇函数的图象关于原点对称;若奇函数yf(x)的定义域中有零,则其函数图象必过原点,即f(0)0.
10幂函数:一般地,函数yx叫做幂函数,其中x是自变量,是常数.
11幂函数fxx的性质:
①所有的幂函数在0,都有定义,并且图象都通过点1,1;
②如果0,则幂函数的图象过原点,并且在区间0,上是增函数;
③如果0,则幂函数的图象在区间0,上是减函数,在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴,当x趋向于时,图象在x轴上方无限地逼近x轴;
④在直线x1的右侧,幂函数图象“指大图高”;
⑤幂函数图象不出现于第四象限.
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