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2024年7月31日发(作者:)
陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考文科数学试题
一、单选题
1.
已知中,,,,点
P
为边
AB
上的动点,则的最小值为(
)
A
.
-4
2.
若双曲线
B
.
-2
的渐近线与圆
C
.
2D
.
4
无交点,则的离心率的取值范围为(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
3.
给出下列命题:
①
“
幂函数
;④
的图象不经过第四象限
”
的逆命题、否命题、逆否命题中只有个是真命题;②
是函数在其定义域上为奇函数的充要条件.
,;③,
其中真命题的个数是
( )
A
.
4.
已知直线与圆:
B
.
相交于、两点,则
“
C
.
”
是
“”
的(
)
D
.
A
.充分不必要条件
C
.充要条件
B
.必要不充分条件
D
.既不充分也不必要条件
,,侧面积为
72
,则该正四棱
5.
斛是我国古代的一种量器,如图所示的斛可视为正四棱台,若该正四棱台的上、下底面边长分别为
台的体积为(
)
A
.
56
B
.
C
.
D
.
6.
已知函数
,则
,的定义域均为,且
(
)
,,若的图象关于直线对称,
A
.
B
.
C
.
0D
.
2
分别为抛物线
7.
抛物线的光学性质是:从抛物线焦点出发的光线经抛物线反射后,反射光线与抛物线对称轴平行,已知、
的焦点和内侧一点,抛物线上存在点使得,则实数的取值范围是(
)
A
.
B
.
的直线与圆:相切于
A
、两点,那么
C
.
D
.
8.
已知过点(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
9.
若偶函数满足,则
A
.
1
10.
关于
x
的不等式
B
.
0C
.
-1
的解集为,则实数
a
的取值范围为(
)
D
.
5
A
.
C
.
B
.
D
.
11.
已知直线,平面,满足,则下列命题一定正确的是(
).
A
.存在直线
C
.存在直线
12.
已知向量
,使
,使
l
,
m
相交
B
.存在直线
D
.存在直线
,与的夹角为,
,使
,使
l
,
m
所成角为
满足,,则的最大值为
A
.
B
.
C
.
D
.
13.
已知定义在上的函数,对任意正数
x
,
y
满足,且当时,,若
,则实数
a
的取值范围是(
)
A
.
14.
若
,则
B
.
的值为(
)
C
.
D
.
A
.
B
.
C
.
D
.
15.
在抛物线上,横坐标为
4
的点到焦点的距离为
5
,则
的值为(
)
A
.
B
.
1C
.
2D
.
4
中,底面为矩形,
16.
《九章算术》是我国古代的一部数学名著,书中记载了一类名为
“
羡除
”
的五面体.如图所示,在羡除
和均为正三角形,∥平面,,则该羡除的外接球的表面积为(
)
A
.
二、多选题
B
.
C
.
D
.
17.
(多选)下列四个命题中,正确的有(
)
A
.数列的第项为
B
.已知数列的通项公式为,则
-8
是该数列的第
7
项
C
.数列
3
,
5
,
9
,
17
,
33…
的一个通项公式为
D
.数列的通项公式为,则数列是递增数列
18.
设函数,则下列结论正确的是(
)
A
.
B
.
的一个周期为
的图象关于直线对称
C
.函数向左平移
D
.在区间
后所得函数为奇函数
上单调递增
19.
抛物线的焦点为,准线交轴于点,点为准线上异于的一点,直线上的两点,满足(为
坐标原点),分别过,作轴平行线交抛物线于,两点,则(
)
A
.
C
.直线过定点
B
.
D
.五边形的周长
20.
要得到函数的图象,只需将函数的图象(
)
A
.作关于
y
轴对称图形即可
C
.向左平移个单位长度即可
21.
如图所示,在长方体
B
.向左平移个单位长度即可
D
.向右平移个单位长度即可
中,是的中点,直线交平面于点,则(
)
A
.
B
.
三点共线
的长度为
1
与平面
的面积为
所成角的正切值为
C
.直线
D
.
22.
给出下面四个推断,其中正确的为(
)
.
A
.若
C
.若,
,则
,则
B
.若
D
.若
,则
,
;
,则
23.
蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率
x
(每分钟鸣叫的次数)与气温
y
(单位:
℃
)存在着较强的线性相
关关系.某地观测人员根据下表的观测数据,建立了
y
关于
x
的经验回归方程,则下列说法正确的是(
)
x
(单位:次数
/
分钟)
y
(单位:
℃
)
A
.
k
的值是
20
B
.变量
x
,
y
呈正相关关系
C
.若
x
的值增加
1
,则
y
的值约增加
0.25
D
.当蟋蟀
52
次
/
分鸣叫时,该地当时的气温预测值为
33.5℃
24.
已知椭圆
C
:
确的是(
)
的左.右焦点分别为,
20
25
30
27.5
40
29
50
32.5
60
36
且,点在椭圆内部,点在椭圆上,则以下说法正
A
.的最小值为
B
.椭圆
C
的短轴长可能为
2
C
.椭圆
C
的离心率的取值范围为
D
.若
三、填空题
,则椭圆
C
的长轴长为
25.
的值为
______.
26.
若数列满足,,则的最小值是
______
.
27.
设为单位向量,且则
____________
.
28.
已知三棱锥,平面平面,为中点,,则过点的平面截该三棱锥外接球所得截
面面积的取值范围为
______
.
29.
设,且,则
m
=
________.
30.
如图,在直角梯形
棱锥
中,,将
沿向上折起,使面面,则三
的外接球的表面积为
_____________
.
31.
在平面直角坐标系中,圆交轴于,交轴于,四边形的面积为
18
,则
___________.
32.
如图,半径为
2
的半球内有一个内接正六棱锥
P
-
ABCDEF
,则此正六棱锥的侧面积是
________
.
四、解答题
33.
已知数列
(1)
求数列
(2)
设
是公比为
2
的等比数列,数列是等差数列,.
的通项公式;
,求数列的前项和.
34.
已知
(
1
)求的值;
,并求值
.
(
2
)若是第三象限的角,化简三角式
35.
已知函数
(
1
)化简函数
(
2
)若点
.
的表达式,并求函数
是
的最小正周期;
,求点的坐标
.
图象的对称中心,且
36.
已知
(1)
求的大小;
(2)
若
的内角的对边分别为,且,
,求的面积.
37.
化简:.
38.
已知椭圆
(1)
求椭圆的标准方程;
(2)
是否存在过点
不存在,请说明理由
.
的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形,且椭圆的短轴长为
.
的直线与椭圆相交于不同的两点,且满足(为坐标原点)若存在,求出直线的方程;若
五、解答题
39. 2021
年
11
月
7
日,在《英雄联盟》
S11
的总决赛中,中国电子竞技俱乐部
EDG
完成逆转,斩获冠军,掀起了新一波电子竞技在中国的热
潮.为了调查
A
地
25
岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否具有相关性,研究人员随机抽取了
500
人作出调查,所得数据统计如
下表所示:
热爱电子竞技
男性
女性
对电子竞技无
感
200
100
50
(1)
判断是否有的把握认为地
25
岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关?
(2)
若按照性别进行分层抽样,从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取
6
人,再从这
6
人中任取
2
人,求至少有
1
人是女生的概率.
附:,其中.
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
10.828
40.
甲、乙两地教育部门到某师范大学实施
“
优才招聘计划
”
,即通过对毕业生进行笔试,面试,模拟课堂考核这
3
项程序后直接签约一批优秀
毕业生,已知
3
项程序分别由
3
个考核组独立依次考核,当
3
项程序均通过后即可签约.去年,该校数学系
130
名毕业生参加甲地教育部门
“
优
才招聘计划
”
的具体情况如下表(不存在通过
3
项程序考核放弃签约的情况).
性别
人数
男生
女生
参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数
45
60
15
10
今年,该校数学系毕业生小明准备参加两地的
“
优才招聘计划
”
,假定他参加各程序的结果相互不影响,且他的辅导员作出较客观的估计:小
明通过甲地的每项程序的概率均为,通过乙地的各项程序的概率依次为,,
m
,其中
0
<
m
<
1
.
(1)
判断是否有
90%
的把握认为这
130
名毕业生去年参加甲地教育部门
“
优才招聘计划
”
能否签约与性别有关;
(2)
若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件
A
,
B
,他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为
X
,
Y
.当
E
(
X
)>
E
(
Y
)时,证明:
P
(
A
)
>
P
(
B
).
参考公式与临界值表:,
n
=
a
+
b
+
c
+
d
.
0.10
k2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
41.
某小型学院对所有入学新生进行了数学摸底考试,如果学生得分在
35
分以下,则不能进入正常数学班学习,必须进补习班补习,
10
名进
入正常数学班的学生的摸底考试成绩和学期末考试成绩如下:
摸底成绩
期末成绩
并计算得:
(
1
)画出散点图;
50
53
35
51
40
56
55
68
80
87
60
71
65
46
35
31
90
79
50
68
(
2
)建立一个回归方程,用摸底考试成绩来预测期末考试成绩
(
精确到
0.1)
;
(
3
)如果期末考试
60
分是某课程结业的最低标准,预测摸底考试成绩低于多少分学生将不能获得某课程结业.
(
附:
)
42.
若
①
②对任意的
则称集合组
为集合
;
,至少存在一个
具有性质
.
且的子集,且满足两个条件:
,使或
.
如图,作行列数表,定义数表中的第行第列的数为
.
…
…
………
…
(
Ⅰ
)当
集合组
1
:
集合组
2
:
(
Ⅱ
)当
(
Ⅲ
)当
时,若集合组
时,集合组
时,判断下列两个集合组是否具有性质,如果是请画出所对应的表格,如果不是请说明理由;
;
…
.
具有性质,请先画出所对应的行
3
列的一个数表,再依此表格分别写出集合
是具有性质且所含集合个数最小的集合组,求的值及
;
的最小值
.
(其中
表示集合所含元素的个数)
43. 1766
年;人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星
.
德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的
距离(单位:
AU
,
AU
是天文学中计量天体之间距离的一种单位)的排列规律后,预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存
在,并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据:
行星编号
(
x
)
离太阳的距离
(
y
)
1
(金
星)
2
(地
球)
3
(火
星)
4
(
)
5
(木
星)
6
(土
星)
0.71.01.65.210.0
受他的启发,意大利天文学家皮亚齐于
1801
年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星
.
(
1
)为了描述行星离太阳的距离
y
与行星编号之间的关系,根据表中已有的数据画出散点图,并根据散点图的分布状况,从以下三种模型中
选出你认为最符合实际的一种函数模型(直接给出结论即可);
①;②;③
.
(
2
)根据你的选择,依表中前几组数据求出函数解析式,并用剩下的数据检验模型的吻合情况;
(
3
)请用你求得的模型,计算谷神星离太阳的距离
.
44.
某农场主拥有两个面积都是
200
亩的农场
——“
生态农场
”
与
“
亲子农场
”
,种植的都是黄桃,黄桃根据品相和质量大小分为优级果、一级果、
残次果三个等级
.
农场主随机抽取了两个农场的黄桃各
100
千克,得到如下数据:
“
生态农场
”
优级果和一级果共
95
千克,两个农场的残次果一
共
20
千克,优级果数目如下:
“
生态农场
”20
千克,
“
亲子农场
”25
千克
.
(1)
根据提供的数据,作出
2×2
列联表,并判断是否有
95%
的把握认为残次果率与农场有关?
(2)
种植黄桃的成本为
5
元
/
千克,且黄桃价格如下表:
等级
价格(元
/
千克)
优级果一级果残次果
108-0.5
(无害化处理费用)
由于农场主精力有限,决定售卖其中的一个农场,以样本的频率作为概率,请你根据统计的知识帮他做出决策
.
(假设两个农场的产量相
同)
参考公式:,其中
n=a+b+c+d.
0.100
2.706
六、解答题
0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
45.
设
(1)
求证:
(2)
若
;
恒成立,求整数的最大值.(参考数据,)
46.
已知数列
(
1
)求证:数列
(
2
)当
的前项和为,满足
.
等差数列;
,是否存在正整数、,使得、、成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数对时,记
;若不存在,请说明理由;
(
3
)若数列、、、、、是公比为的等比数列,求最小正整数,使得当时,
.
47.
已知椭圆
面积的最大值为
的离心率为分别为椭圆的左,右顶点和坐标原点,点为椭圆上异于的一动点,
.
(1)
求的方程;
(2)
过椭圆的右焦点的直线与交于
的斜率分别为
①求的取值范围;
②求证:为定值
.
两点,记的面积为,过线段的中点作直线的垂线,垂足为,设直线
.
48.
已知
(1)
求证:
(2)
求
,且
;
.
的最大值.
49.
已知函数
(1)
当时,求证:
在
,,
对于任意正实数
x
恒成立
.
.
(2)
若函数上有且仅有两个极值点,求实数
t
的取值范围
.
50.
已知椭圆
C
;
(1)
求椭圆
C
的方程;
的左右顶点分别为,,以线段为边的一个正三角形与椭圆
C
的一个公共点为
P
(,)
.
(2)
若过椭圆
C
的右焦点
F
的直线与椭圆
C
交于点
M
,
N
,直线
M
,交于点
D
,求证:点
D
在定直线
l
上,并求出直线
l
的方程
.
七、解答题
51.
某商场周年庆进行大型促销活动,为吸引消费者,特别推出
“
玩游戏,送礼券
”
的活动,活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加
游戏,游戏规则如下:在一个盒子里放着六枚硬币,其中有三枚正常的硬币,一面印着字,一面印着花;另外三枚硬币是特制的,有两枚双
面都印着字,一枚双面都印着花,规定印着字的面为正面,印着花的面为反面.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两
次,由工作人员告知投掷的结果,若两次投掷向上的面都是正面,则进入最终挑战,否则游戏结束,不获得任何礼券.最终挑战的方式是进
行第三次投掷,有两个方案可供选择:方案一,继续投掷之前抽取的那枚硬币,如果掷出向上的面为正面,则获得
200
元礼券,方案二,不
使用之前抽取的硬币,从盒子里剩余的五枚硬币中再次随机抽取一枚投掷,如果掷出向上的面为正面,则获得
300
元礼券,不管选择方案一
还是方案二,如果掷出向上的面为反面,则获得
100
元礼券.
(1)
求第一次投掷后,向上的面为正面的概率.
(2)
若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷,向上的面均为正面,求该硬币是正常硬币的概率.
(3)
在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下,试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得的礼券的数学期望,并以此判断应该选择哪种抽
奖方案更合适.
52.
天气寒冷,加热手套比较畅销,某商家为了解某种加热手套如何定价可以获得最大利润,现对这种加热手套进行试销售,统计后得到其
单价
x(
单位
;
元
)
与销量
y(
单位
:
副
)
的相关数据如下表:
单
价
x
(元
)
销
量
y
(副
)
8
14
(
1
)已知销量
y
与单价
x
具有线性相关关系,求
y
关于
x
的线性回归方程
;
(
2
)若每副该加热手套的成本为
65
元,试销售结束后,请利用(
1
)中所求的线性回归方程确定单价为多少元时,销售利润最大
?(
结果保留
到整数
)
附
:
对于一组数据
(x
1
,
y
1
)
,
(x
2
,
y
2
)
,
…
,
(x
n
,
y
n
)
,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
参考数据
:
53.
某农科所发现,一种作物的年收获量
y
(单位:
离不超过
)与它
“
相近
”
作物的株数
x
具有线性相关关系(所谓两株作物
“
相近
”
是指它们的直线距
),并分别记录了相近作物的株数为
1
,
2
,
3
,
5
,
6
,
7
时,该作物的年收获量的相关数据如下:
x
y
1
60
2
55
3
53
5
46
6
45
7
41
,若
(
1
)求该作物的年收获量
y
关于它
“
相近
”
作物的株数
x
的线性回归方程;
(
2
)农科所在如图所示的直角梯形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点)处都种了一株该作物,图中每个小正方形的边长均为
从直角梯形地块的边界和内部分别各随机选取一株该作物,求这两株作物
“
相近
”
且年产量相差
附:对于一组数据,其回归直线
的概率.
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
参考数据:,,
.
,
54.
在某班组织的一次篮球定点投篮比赛中,规定:每人最多投三次,在处每投中一球得分,在处每投中一球得分,如果前两次得分之
和超过分即停止投篮,否则投第三次
.
某同学在处投中的概率为
投
.
用表示该同学投篮比赛结束后所得的总分,其分布列为
,在处投中的概率为,该同学选择先在处投一球,以后都在处
(
1
)求的值;
(
2
)求随机变量的数学期望
.
55.
为更好保障消费者的食品安全,某蛋糕总店开发了、两种不同口味的生态戚风蛋糕,制作主料均为生态有机原料
.
已知蛋糕的成本为
元
/
个,蛋糕的成本为元
/
个,两种蛋糕的售价均为元
/
个,两种蛋糕的保质期均为一天,一旦过了保质期,则销毁处理
.
为更好了解
天)的试销,假设两种蛋糕的日销量相互独立,统计得市场的需求情况,、两种蛋糕分别在甲、乙两个分店同时进行了为期一个月(
到如下统计表
.
蛋糕的销售量(个)
天数
蛋糕的销售量(个)
天数
(1)
以销售频率为概率,求这两种蛋糕的日销量之和不低于个的概率;
与时,哪种情况下两种蛋糕的获利之和最大?
(2)
若每日生产、两种蛋糕各个,根据以上数据计算,试问当
56.
如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点
P
和居民区
O
的公路,点
P
所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为
,且
为
a
万元
,
,点
P
到平面的距离
,当山坡上公路长度为
.沿山脚原有一段笔直的公路
AB
可供利用,从点
O
到山脚修路的造价
时,其造价为万元,已知,,原有公路改建费用为万元
,.
(1)
在
AB
上求一点
D
,使沿折线
PDAO
修建公路的总造价最小;
(2)
对于(
1
)中得到的点
D
,在
DA
上求一点
E
,使沿折线
PDEO
修建公路的总造价最小;
(3)
在
AB
上是否存在两个不同的点
八、解答题
,使沿折线修建公路的总造价小于(
2
)中得到的最小总造价,证明你的结论.
57.
已知首项为
2
的数列
(
1
)求实数
t
的值及数列
(
2
)将①,②
中,前
n
项和
的通项公式
满足
;
.
,③三个条件任选一个补充在题中,求数列的前
n
项和.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
58.
如图,在直三棱柱中,,,且二面角为为
45°.
(1)
求棱
AC
的长;
(2)
若
D
为棱的中点,求平面与平面夹角的正切值
.
59.
已知函数
(
1
)讨论函数
(
2
)若
的单调区间;
.
恒成立,求实数
m
的取值范围
.
有两个极值点,(),且
60.
已知
(1)
求角
A
;
(2)
若,
中角
、、所对的边分别为、、,且满足,.
边上中线,求的面积.
61.
设函数
(1)
求
(2)
若
是定义在上的奇函数,且当时,
.
的解析式;
,使得,求实数的取值范围
.
62.
如图,已知四棱锥
为
O
点.又
的底面
.
为等腰梯形,,与相交于点
O
,且顶点
P
在底面上的射影恰
(1)
求异面直线
(2)
求二面角
(3)
设点
M
在棱
与所成角的余弦值;
的大小;
上,且,问为何值时,平面.
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