利用相机标定进行的空间定位

·154·

价值工程

利用相机标定进行的空间定位

SpatialPositioningUsingCameraCalibration

吴任嫡WURen-di曰景鹏飞JINGPeng-fei

（北京师范大学，北京100089）

（BeijingNormalUniversity，Beijing100089，China）

摘要院研究者通过使用针孔相机模型及凸透镜成像原理，对手机相机进行模拟，仅利用一把直尺，即可计算手机相册中实际物体

的三维位置，其中最重要的创新点就是对相机标定方法的改进。本文讲述了研究者所作创新实验的方法和步骤，最终通过固定小球位

置，拍摄小球图像分析其位置，比较分析结果与实际坐标，发现二者误差均在5%以下。

Abstract:Theresearchersusepinholecameram

onerulercancalculatethetimportantinnovationisthe

perdescribesthemethodsandstepsofinnovativeexperimentsmadebyresearchers.

Finally,thepositionofthebaorbetweentheanalysis

resultsandtheactualcoordinatesislessthan5%.

关键词院空间定位；相机坐标系；针孔相机模型

Keywords:spatialpositioning；cameracoordinatesystem；pinholecameramodel

中图分类号院P23文献标识码院A文章编号院1006-4311（2021）12-0154-03

1研究意义

实际生活中，我们需要三个

坐标以确定物体确切位置。而照

片是二维的，如何通过二维的图

像反推出拍摄物体的实际位置，

这在图像测量过程以及机器视觉

的应用中，例如图像测距、目标追

踪、空间定位等。有着十分重要的

研究价值。

若将相机抽象为函数，则物

体经“相机函数”作用后，可得出

其在相机CMOS上投影所得的二

维图像，这个过程是不可逆的。但我们可以建立一个合适

的数学模型，通过逼近“相机函数”，模拟三维到二维的过

程，从而找到“相机函数”的反函数，实现由低维向高维位

置坐标的推导，即确定该数学模型，完成相机标定过程。

相机标定是计算机视觉实验中的关键，算法的普适性

与稳定性直接影响着后续结果的准确性。因此，如何高效

准确地进行相机标定，是相关工作的前期重点所在。

2基本原理

2.1坐标系转换

相机标定的过程，实质上是确定图像坐标系、像素坐

标系、相机坐标系以及世界坐标系的转换关系，这也是逼

近“相机函数”的关键。图1为针孔相机模型示意图（实际

物体为球体），其中O为相机光点，O

1

为图像中心点，O

2

为

小球投影所在面原点，O

1

为图像中的球心位置，O

2

为实际

要要要要要要要要要要要要要要要要要要要要要要要

''

图1针孔相机模型成像过程示意图

球体球心所在位置，OO

1

O

2

为相机光轴，r为球体半径，设

小球在图像中的像素半径为rad。

计算过程：

已知小球半径为rad，照片中，小球的像素半径为r，以

图像中心为坐标原点，小球球心坐标为O

1

，坐标为（x，y），

相机焦距OO

1

为f。

淤计算相机光轴与相机光点-光点球心连线所成夹角。

相交而产生的两个点距O

1

的距离分别为d

1

和d

2

，

设该角为2兹，设O

1

与O

1

连接所得直线与图像中的圆

'

（1）

（2）

当小球位于图像中心区域时，可忽略畸变影响。在相

机光点，图像球面，小球投影形成球面三者构成的圆锥中，

设圆锥的母线与高线夹角为兹，则

基金项目院2020年北京师范大学教学建设与改革项目（项目编号：

311310024）。

（3）

作者简介院吴任嫡（2000-），女，黑龙江大庆人，本科，研究方向为

于计算相机光点-小球球心连线与图像的水平方向之

物理；景鹏飞（通讯作者）（1988-），男，山东菏泽人，助

理研究员，博士，研究方向为凝聚态物理。

间夹角。

ValueEngineering

设该夹角为琢，则

（4）

盂计算相机光轴与光点、图像中心两点所在直线间的

夹角。

设该夹角为茁，则

（5）

·155·

表1常见CMOS型号

SONY

SONY

SONY

SONY

SONY

型号名称

IMX600

IMX586

IMX363

IMX286

IMX214

1/1.7in

1/2in

1/2.55in

1/2.9in

1/3.06in

尺寸单位像素

1滋m

0.8滋m

1.4滋m

1.25滋m

1.12滋m

利用HUAWEIP30进行实验，查找资料，知其摄像头

榆

设小球球心所在点的球半径为

用球坐标系表示相机坐标系。

R，则

（6）

根据图1可知，小球球心所在点的天顶角为茁，方位

角为

虞

琢。

设

坐标转换。

O

2

'

在相机坐标系下的坐标为（X，Y，Z），则

（7）

（8）

（9）

Z）的转换。

由此，完成了图像坐标系（x，y）至相机坐标系（X，Y，

2.2手机拍摄成像原理

成像原理及过程：

手机相机成像过程可简化为凸透镜成像过程，手机镜

头焦距极小，拍摄物体距镜头必大于二倍焦距，故CMOS

所接受光信号为物体倒立、缩小的实像，即光线经物体反

射进入手机镜头，

CMOS

经过折射，光线聚焦至CMOS

芯片，通过输出接口对电信号的处理，

可将光信号转变为电信号，并传送至数字信号处理

传感器上。

我们便可从手机屏

上看到物体图像。

图2手机相机的成像过程院远处的物体发出或反射

的光袁经过凸透镜渊相机镜头冤袁成像于CMOS上

2.3

2.3.1

手机相机实际焦距测量

测量原理

现在市场上大多数手机照相系统仍为定焦光具组，

所以焦距为固定值。根据高斯定理，可根据物距与像距

求出焦距。根据三角形相似原理，可利用物高与像高确

定物距与像距之比。物高可通过测量获得，像高则需通

过像素坐标系与图像坐标系的转换来确定。利用Windows

系统的画图板工具，可获得物体在图像上的像素高度。

若可再获得CMOS上一个像素的具体大小，即可获得像

高。查阅资料，市场上手机相机常见CMOS型号及参数

如表1所示。

三摄参数如表2所示。

表2HUAWEIP30摄像头三摄参数

主摄超广角长焦

CMOS

等效焦距

型号IMX600

27mm

IMX351

17mm

OV08A10

80mm

设物体物高为y，物距为S，像距为S'，放大率为茁，其

在照片中的高度为h，像高y，相机焦距为f。因此

（10）

（11）

由公式（10）、公式（11）可推得

（12）

（13）

即，若已知物体物高y，物距S，像素坐标系中高度h，

即可通过求得放大率茁，求出相机焦距f。

2.3.2等效焦距

以上方法计算得到的是实际焦距。等效焦距是相机光

电传感芯片影像区域对角线的长度等效成照相机画幅对

角线长度时，其镜头的实际焦距对应的照相机镜头的焦

距。即

（14）

受制于传感器尺寸，即使镜头焦距相同，不同相机拍

摄出的画幅也会有所不同。尺寸越小的传感器，能拍摄的

越小，也就是视角变小，相当于将画面拉近，能够拍

摄的距离就远了。所以镜头的实际焦距的作用变得不明

显，需要根据不同尺寸的传感器重新定义焦距，以此来衡

量不同手机的拍照能力，这就产生了等效焦距。因此，计算

所得结果需要根据实际焦距与等效焦距的关系进行进一

步处理。

2.4

2.4.1

图像捕捉

经典霍夫圆检测

通过对小球运动视频的逐帧提取，我们可以将对小球

位置的捕捉，抽象为在图像中找到一个合适的圆形。根据

圆的标准方程

（15）

可知，在坐标系中至少需要三个方程来确定圆的方

程，即圆的半径r与圆心坐标（x

0

，y

0

）。根据（x

0

，y

0

，z

0

）建立

空间直角坐标系，坐标系内每点坐标都有相应圆对应。因

此，若我们知道至少三个点对应的空间曲线相交于一点，

则我们可以判断这三个点在同一圆上，而其交点则为圆

“范围”

·156·

心。在此基础上，若有第四个点对应的空间曲线同样经过

上述圆心所在位置，则可判断该点与上述三点共圆。以上

即为经典霍夫圆检测的基本原理。

但在实际应用的过程中，若仅以三点判断图像中圆的

存在，则会造成大量的误判，且随图像像素点的增加，其计

算量也在成倍增长。因此，为了提高检测精度以及降低运算

量，我们通常通过分阶段检测圆心位置及半径大小，并设定

判断阈值的方法，实现降维，达到提高算法效率的目的。

2.4.2霍夫梯度法

圆心位置与半径大小无关，只需找到圆周所有法线的

交点，即可确定所有可能圆心所在的位置。该方法所用的霍

夫空间与图像空间的性质相同，故实现了从原三维空间曲

线降维至平面曲线。而通过设定阈值，建立类似计数器，当

从某一圆心到其圆周上任意一点的距离相同时，则计数。当

相同距离的数量大于设定的阈值时，我们就认为该距离就

是该圆心所对应的半径。此时，只需要绘制半径直方图而无

需霍夫空间。通过上述过程的简化，我们可以更快获得检测

结果。然而若第一阶段时，圆心的检测出现偏差，则会相应

导致第二阶段圆半径的检测不可避免地出现错误。

3实验过程

固定物距为20cm，选取直尺上9cm长的一段，使用画

板打开，获得其高度为1317（1405-88）个像素单位，即像

高为1317滋m。

由公式（10）、公式（11），可知华为P30超广角摄像头

的实际焦距为2.22mm。将其转换为等效焦距以验证实验

精确度。已知

IMX351

算得其等效焦距约为

尺寸（Image

35mm

size

画幅尺寸即为43.23mm，由图3知

16.71mm

）为5.82mm

，SONY

。故根据公式

官方公布

（

17mm

14），计

的

等效焦距，相对误差仅为1.69%。实验精度较高，结果较为

可信。即，针孔相机模型拟合度较高，可使用该模型进行后

续计算。

图3SONYIMX351官方参数

固定手机相机位置不变，改变小球位置并拍摄照片，测

量每次小球相对手机相机光点的位置坐标。如图4所示。

（a）实验示意图

（b）小球捕捉

图4编写程序捕捉图中小球袁并获取其

图像坐标及半径的像素大小

连续进行三组实验，记录数据如表3。

价值工程

表3数据记录

实验序号焦距/mm理论坐标/mm实际坐标/mm

1

2

2.87

（-17.98，-6.20，76.40）（-19.00，-5.80，75.00）

3

1.58

1.58

（-19.47，-3.60，75.40）（-19.98，-4.00，75.00）

（20.60，-8.30，77.60）（20.50，-7.20，75.00）

对比计算坐标与测量坐标，可知除极个别数据外，三

组（X，Y，Z）坐标值的相对误差，绝大多数都在5%以下。而

在以mm为单位的情况下，使用米尺进行长度测量时，其

测量坐标的误差本身也可能较大，不排除异常数据中，测

量误差贡献远超理论误差的可能性。

因此，在已有环境条件下，该实验精度较高，可证明使

用针孔相机模型拟合手机相机进行标定的理论完全可行！

4总结与展望

在前期文献阅读过程中，我们选择了精度较高且成本

较低的传统相机标定法，将手机作为CCD，推算了实验小

球所在的空间位置。结果显示，在已有实验条件下，该实验

精度较高。但实验过程中发现，囿于其复杂的标定过程，改

变实验环境后，往往需要大量繁琐的标定过程才能继续实

验。除此之外，由于实验所用小球较小，且将其尽量控制于

相机中间，我们忽略了切向畸变与径向畸变带来的影响。

尽管可以保证精度，但却限制了小球的运动范围。

因此，在未来，我们应当继续探索如何通过设计实验，规

避传统相机标定法的束缚。现阶段，我们可以通过IP摄像

头，

IP

连接手机电脑，实现对实验小球的实时追捕。但受限于

低、

摄像头的延迟，

速度快的连接方式，

图像存在明显的拖尾现象。如何找到成本

也是未来实验的重点。而当小球运动

范围逐渐扩张时，相机畸变已严重影响实验精度时，我们应

该考虑利用棋盘法，或选择其他参照物，进行相机校正。

此外，目前相机自标定法还有更大的拓展空间，其对

实验环境的要求更为宽松，计算也较传统标定方法更为简

便，如果能进一步提高其实验精度，则其将被更为广泛地

应用。自标定法与分层重建联系紧密，利用分层逐步进行

自标定，可较好地提高结果的鲁棒性。除此之外，随着科技

的发展，理想相机模型的应用范围也越来越广泛，此时相

机内参也可进行约化，对方程数目的要求也可降低，大幅

简化了计算过程。而针对其他需要求解非线性多项式方程

组的问题，如何优化算法，也是值得进一步研究的。

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