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一般而言,前两个问题的答案很容易得到,第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合,从中筛选出最合适的指标。
这个时候,我们就可以去知网(或者万方、百度学术、谷歌学术等平台)搜索相关的文献,这样一来,我们的论文也就有文献引用了,让我们的数据等看起来有理有据,显得专业,还能明目张胆地借鉴学习一下他们论文中的观点。
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那么现在,假如我们替坤坤查询了资料后选择了以下五个指标:
- 景点景色
- 旅游花费
- 居住环境
- 饮食情况
- 交通便利程度
接下来,要对坤坤如何提问才能帮他做出合理的决定?
这就要用到我们最开始学的那张表了
权重 | 城市A | 城市B | 城市C | |
景色 | ||||
花费 | ||||
居住 | ||||
饮食 | ||||
交通 |
但是,如果我们直接问坤坤:权重多少,城市ABC评分多少,会显得十分片面且不周全(第二天再问他绝对又换了个数,他自己也记不清。)
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时,遇到的主要困难 是这些比重常常不易定量化。此外,当影响某因素的因子较多时,直接 考虑各因子对该因素有多大程度的影响时,常常会因考虑不周全、顾此 失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据,甚至 有可能提出一组隐含矛盾的数据。
——选自司守奎[kuí]老师的《数学建模算法与应用》
因此,我们采用分而治之的思想,先来处理权重吧~
问题:
- 一次性考虑这五个指标之间的关系,往往考虑不周。
解决方法:
- 两个两个指标进行比较,最终根据两两比较的结果来推算出权重。
1.1 两两比较获得判断矩阵
简单来说就是我们这5个指标分别比较,比如我觉得:景色比花费更重要,饮食比交通非常重要… 通过这样的方式对不同的重要程度赋值 并 最后计算,从而得到权值。
标度 | 含义 |
1 | 表示两个因素相比,具有同样重要性 |
3 | 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素稍微重要 |
5 | 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素明显重要 |
7 | 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素强烈重要 |
9 | 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素极端重要 |
2,4,6,8 | 上述两相邻判断的中值如2是1和3之间 |
倒数 | A和B相比如果标度为3,那么B和A相比就是1/3 |
接下来,就是两两比较五个指标对于选择最终的旅游景点的重要性。
我们绘制如下表格,其对角线肯定都为1:
景色 | 花费 | 居住 | 饮食 | 交通 | |
景色 | 1 | ||||
花费 | 1 | ||||
居住 | 1 | ||||
饮食 | 1 | ||||
交通 | 1 |
问:景色和花费相比的重要程度?
坤:我认为景色比花费略重要,介于同等重要1和稍微重要3之间吧。
问:景色和居住相比的重要程度?
坤: 我认为景色比居住要重要一点,介于稍微重要3和明显重要5之间吧。
景色 | 花费 | 居住 | 饮食 | 交通 | |
景色 | 1 | 2 | 4 | ||
花费 | 1/2 | 1 | |||
居住 | 1/4 | 1 | |||
饮食 | 1 | ||||
交通 | 1 |
这样坤坤回答完10次( ),填完了这张用于计算权重的表格(重要性更加稳定精确了):
景色 | 花费 | 居住 | 饮食 | 交通 | |
景色 | 1 | 2 | 4 | 3 | 3 |
花费 | 2 | 1 | 7 | 5 | 5 |
居住 | 1/4 | 1/7 | 1 | 1/2 | 1/3 |
饮食 | 1/3 | 1/5 | 2 | 1 | 1 |
交通 | 1/3 | 1/5 | 3 | 1 | 1 |
注:实际情况下没有坤坤帮我们回答,层次分析法中这张表是交给‘专家’ 填的,具体我们等后面再说。(其实我们自己凭感觉填,在论文中不说怎么来的也行,后面会有获奖案例鉴赏。)
这样,我们所形成的正互反矩阵,就是层次分析法中的判断矩阵。
得到判断矩阵,我们就可以计算出权重了,方法后面再讲。
同理,我们可以得到城市A、B、C在景色、花费、居住、饮食、交通所占的权重(得分),因此需要再填5张表格,如问完了坤坤对于城市ABC中景色的看法:
景色 | 城市A | 城市B | 城市C |
城市A | 1 | 2 | 5 |
城市B | 1/2 | 1 | 2 |
城市C | 1/5 | 1/2 | 1 |
其它关于花费、居住、饮食、交通的表我就略了。
注:一个可能出现问题的地方:
坤坤:我觉得x比y好,y比z好,z比x好或一样好。
如果把语气加重一些,谁比谁非常好,那么这种不一致的现象会更加严重。
1.2 一致性正互反矩阵的引入
此时,我们就要介绍一个东西:一致矩阵,用它来判断数据知否合理。
- 若矩阵中每个元素 且满足 ,则我们称该矩阵为正互反矩阵。
- 在层次分析法中,我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
- 若正互反矩阵满足 ,则我们称其为一致矩阵。
1 | 2 | 4 |
1/2 | 1 | 2 |
1/4 | 1/2 | 1 |
你看,上面这个矩阵就是一致矩阵。
比如我让i=1, j=2, k=3, 那么2*2=4:
令i=2, j=2, k=1, 那么1*1/2=1/2:
此外除了 一致矩阵还有个特点,就是行或列对应成比例。
我们引入一致矩阵,用来检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。
景色(原始) | 城市A | 城市B | 城市C |
城市A | 1 | 2 | 5 |
城市B | 1/2 | 1 | 2 |
城市C | 1/5 | 1/2 | 1 |
景色(一致矩阵) | 城市A | 城市B | 城市C |
城市A | 1 | 2 | 4 |
城市B | 1/2 | 1 | 2 |
城市C | 1/4 | 1/2 | 1 |
**引理:**n阶正反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征是 ;
且当正反矩阵A非一致时,
景色 | 城市A | 城市B | 城市C |
城市A | 1 | 2 | a |
城市B | 1/2 | 1 | 2 |
城市C | 1/a | 1/2 | 1 |
从上图我们可以发现,当a=4也就是上方刚开始介绍的一致矩阵,此时最大特征值最小,为3=n也就是矩阵的阶数。若a不为4,或a离4越来越远,不一致现象越明显,则其特征值也递增。
1.2.1 一致性检验的步骤
- 计算一致性指标CI
- 查下表找对应的平均随机一致性指标RI
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
R | 0 | 0 | 0.52 | 0.89 | 1.12 | 1.26 | 1.36 | 1.41 | 1.46 | 1.49 | 1.52 | 1.54 | 1.56 | 1.58 | 1.59 |
注:在实际运用中,n很少超过10,如果指标的个数大于10,则可考虑建立 二级指标体系,或使用我们以后要学习的模糊综合评价模型。
- 计算一致性比例CR
如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受;
否则需要对判断矩阵进行修正。
1.3 根据一致性正互反矩阵计算权重
以下表为例,虽然不是一致矩阵,但它的CR<0.1,我们选择接受不做调整。
(CR>0.1如何调整在后面)。
景色 | 城市A | 城市B | 城市C |
城市A | 1 | 2 | 5 |
城市B | 1/2 | 1 | 2 |
城市C | 1/5 | 1/2 | 1 |
我们取出第一列,做归一化处理(城市ABC对于城市A的重要性是1、1/2、1/4)。
- 城市A = 1 /(1+0.5+0.2) = 0.5882
- 城市B = 0.5/(1+0.5+0.2) = 0.2941
- 城市C = 0.2/(1+0.5+0.2) = 0.1177
之后我们拿出二三列重复上面操作:
-
城市A = 2 /(2+1+0.5) = 0.5714
-
城市B = 1/(2+1+0.5) = 0.2857
-
城市C = 0.5/(2+1+0.5) = = 0.1429
-
城市A = 5 /(5+2+1) = 0.625
-
城市B = 2/(5+2+1) = 0.25
-
城市C = 1/(5+2+1) = 0.125
这样我们得到三组权重:
法1:算术平均求权重:
- 第一步:将判断矩阵按照列归一化 (每一个元素除以其所在列的和)
- 第二步:将归一化的各列相加(按行求和)
- 第三步:将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
- 城市A = (0.5882+0.5714+0.625)/3=0.5949
- 城市B = (0.2941+0.2857+0.25)/3=0.2766
- 城市C = (0.1177+0.1429+0.125)/3=0.1285
法2:几何平均法求权重
- 第一步:将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
- 第二步:将新的向量的每个分量开n次方
- 第三步:对该列向量进行归一化即可得到权重向量
- 城市A = 0.5954
- 城市B = 0.2764
- 城市C = 0.1283
法3:特征值法求权重
假如我们的判断矩阵一致性可以接受,那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。
一致矩阵有一个特征值为n,其余特征值均为0。
- 第一步:求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
- 第二步:对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
景色 | 城市A | 城市B | 城市C |
城市A | 1 | 2 | 5 |
城市B | 1/2 | 1 | 2 |
城市C | 1/5 | 1/2 | 1 |
该表最大特征值为3.0055,一致性比例CR=0.0053,对应的特征向量:[-0.8902,-0.4132,-0.1918],对其进行归一化:[0.5954,0.2764,0.1283]
算术平均法 | 几何平均法 | 特征值法 | |
城市A | 0.5949 | 0.5954 | 0.5954 |
城市B | 0.2766 | 0.2764 | 0.2764 |
城市C | 0.1285 | 0.1283 | 0.1283 |
我们大多数情况下使用特征值法,将其带入初始要填的表:
权重 | 城市A | 城市B | 城市C | |
景色 | 0.5954 | 0.2764 | 0.1283 | |
花费 | ||||
居住 | ||||
饮食 | ||||
交通 |
同理这些空着的地方都可以使用同样的方式。
此时,我们终于得到了这个判断矩阵:
权重 | 城市A | 城市B | 城市C | |
景色 | 0.2636 | 0.5954 | 0.2764 | 0.1283 |
花费 | 0.4758 | 0.0819 | 0.2363 | 0.6817 |
居住 | 0.0538 | 0.4286 | 0.4286 | 0.1429 |
饮食 | 0.0981 | 0.6337 | 0.1919 | 0.1744 |
交通 | 0.1087 | 0.1667 | 0.1667 | 0.6667 |
城市A最终得分:0.299
城市B最终得分:0.245
城市C最终得分:0.455
所以最后去城市C旅游。
二、层次分析法
层次分析法(The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家、 匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合 评价方法,是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的,它较合理地解 决了定性问题定量化的处理过程。
AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构,把人类的判断转化到若干因 素两两之间重要度的比较上,从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重 要度的比较上面。在许多情况下,决策者可以直接使用AHP进行决策,极大 地提高了决策的有效性、可靠性和可行性,但其本质是一种思维方式,它把 复杂问题分解成多个组成因素,又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次 结构,通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体 现了人类决策思维的基本特征,即分解、判断、综合,克服了其他方法回避 决策者主观判断的缺点
步骤:
**1.**分析系统中各因素之间的关系,建立系统的递阶层次结构.
注意:如果你用到了层次分析法,那么上面这个层次结构图要放在你的建模论文中哦。
**2.**对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要 性进行两两比较,构造两两比较矩阵(判断矩阵)。
看看优秀论文的做法吧:
【2008年国赛B题一等奖】 关于高等教育学费标准的评价及建议
【2016年国赛MATLAB创新奖B题】中国人民大学‐小区开放道路通行影响
准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写,如果题目中有其他数据, 可以考虑利用这些数据进行计算。
例如:有一个指标是交通安全程度,现在要比较开放小区、半开放小区和封闭小区,而且 你收集到了这些小区车流量的数据,那么就可以根据这个数据进行换算作为你的判断矩阵。
3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重, 并进行一致性检验(检验通过权重才能用)
CR<0.1通过后,三种3方法计算权重:算术平均、几何平均、特征值法。
建议大家在比赛时三种方法都使用
以往的论文利用层次分析法解决实际问题时,都是采用其中某一种方法求权重,而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性,本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值,再根据得 到的权重矩阵计算各方案的得分,并进行排序和综合分析,这样避免了 采用单一方法所产生的偏差,得出的结论将更全面、更有效。
注:
- 一致矩阵不需要进行一致性检验,只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进 行一致性检验;
- 在论文写作中,应该先进行一致性检验,通过检验后再计算 权重,视频中讲解的只是为了顺应计算过程
当CR>0.1时如何修正?
指标X | 城市A | 城市B | 城市C |
城市A | 1 | 2 | 1 |
城市B | 1/2 | 1 | 2 |
城市C | 1 | 1/2 | 1 |
答:往一致矩阵上调整,一致矩阵的行列成倍数关系
所以:
指标X | 城市A | 城市B | 城市C |
城市A | 1 | 2 | 4 |
城市B | 1/2 | 1 | 2 |
城市C | 1/4 | 1/2 | 1 |
- 根据权重矩阵计算最终得分,并进行排序。
三、层次分析法的一些局限性
- 评价的决策层不能太多,太多的话n会很大,判断矩阵和 一致矩阵差异 可能会很大。
我们上面提到过的RI指标也只到了15:
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
R | 0 | 0 | 0.52 | 0.89 | 1.12 | 1.26 | 1.36 | 1.41 | 1.46 | 1.49 | 1.52 | 1.54 | 1.56 | 1.58 | 1.59 |
- 如果决策层中指标的数据是已知的,那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢?
层次分析法中,实际情况下没有坤坤帮我们回答,层次分析法中这张表是交给‘专家’ 填的。(谁比谁重要啊,重要程度是几呀… ),其实我们自己凭感觉填(两两比较的结果)。
该方法仍具有较强的主观性,判断/比较矩阵的构造在一定程度上是凭感觉决定的,一致性检验只是检验 感觉 有没有自相矛盾得太离谱。
四、模型拓展
1. 多个准则层:
与之前做法一样,不过是多算几组表格。
2. 准则不对应全部方案:
可以把另一个方案的权重设为0
*3. 一个准则只对应自己的方案
我们只要生成这样的表即可:
先成大的部分的判断矩阵,再分别处理小的。
感觉这个模型还是很简单的。如果有不理解的地方可以联系帅气的博主。
五、代码展示
你要购买一台笔记本电脑,要考虑其:颜值、性能、口碑、重量、保险情况,这5个方面,最终筛选出了3种品牌的电脑。
第一步:
确定了目标层、准则层、方案层后,我们要做的就是填下表:
权重 | 电脑A | 电脑B | 电脑C | |
颜值 | ||||
性能 | ||||
口碑 | ||||
重量 | ||||
保险情况 |
第二步:
我们先处理第一列(权重),其判断矩阵如下。
颜值 | 性能 | 口碑 | 重量 | 保险情况 | |
颜值 | 1 | 1/2 | 4 | 3 | 3 |
性能 | 2 | 1 | 7 | 5 | 5 |
口碑 | 1/4 | 1/7 | 1 | 1/2 | 1/3 |
重量 | 1/3 | 1/5 | 2 | 1 | 1 |
保险情况 | 1/3 | 1/5 | 3 | 1 | 1 |
matrix = np.array([[1, 1 / 2, 4, 3, 3], [2, 1, 7, 5, 5], [1 / 4, 1 / 7, 1, 1 / 2, 1 / 3], [1 / 3, 1 / 5, 2, 1, 1],
[1 / 3, 1 / 5, 3, 1, 1]])
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– | — | — |
| | 颜值 | 性能 | 口碑 | 重量 | 保险情况 |
| 颜值 | 1 | 1/2 | 4 | 3 | 3 |
| 性能 | 2 | 1 | 7 | 5 | 5 |
| 口碑 | 1/4 | 1/7 | 1 | 1/2 | 1/3 |
| 重量 | 1/3 | 1/5 | 2 | 1 | 1 |
| 保险情况 | 1/3 | 1/5 | 3 | 1 | 1 |
matrix = np.array([[1, 1 / 2, 4, 3, 3], [2, 1, 7, 5, 5], [1 / 4, 1 / 7, 1, 1 / 2, 1 / 3], [1 / 3, 1 / 5, 2, 1, 1],
[1 / 3, 1 / 5, 3, 1, 1]])
[外链图片转存中…(img-eottfH4x-1715598263845)]
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版权声明:本文标题:2024年大数据最全【数学模型】层次分析_数学建模层次分析法例题及答案(2),通宵都要看完这个大数据开发关键技术点 内容由热心网友自发贡献,该文观点仅代表作者本人, 转载请联系作者并注明出处:https://www.elefans.com/dongtai/1725363508a1020832.html, 本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,一经查实,本站将立刻删除。
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