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2024年6月24日发(作者:)
定义、定理、引理、推论、定律
定义(Definition)
定义是透过列出一个事件或者一个物件的基本属性来描述或规范
一个词或一个概念的意义;被定义的事务或者物件叫做被定义项,其
定义叫做定义项。
对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延所作的简要说
明。相当于数学上的对未知数的设定赋值,比如“设某未知数为已知
字母x以便于简化计算,”对某个命名的词汇赋与一定的意义或形象,
则有利于交流中的识别及认同。
命名和定义总是相伴而生,用已知的熟知的来解释和形容未知的
陌生的事物并加以区别,这是一个理论界的真理。
命名和定义是理论的前提。命名和定义是展开理论的前提。
定理(Theorem)
是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说,在数学中,只
有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。一个定
理陈述一个给定类的所有(全称)元素一种不变的关系,这些元素可
以是无穷多,它们在任何时刻都无区别地成立,而没有一个例外。
猜想是相信为真但未被证明的数学叙述,或者叫做命题,当它经
过证明后便是定理。
猜想是定理的来源,但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来
的数学叙述可以不经过成为猜想的过程,成为定理
引理(Lemma)
引理是数学中为了取得某个更好的结论而作为步骤被证明的命题,
其意义并不在于自身被证明,而在于为达成最终目的作出贡献。
一个引理可用于证明多个结论。引理和定理没有严格的区分。
推论(也称为系, 系理)(Inference)
推论是指能够“简单明了地”从前述命题推出的论断。
推论往往在定理后出现; 如果命题 B 能够被简单明了的从命题 A 推
导出,则称B 为A 的推论。
“推论”, “定理”, “命题”等术语的使用区别往往是比较主观
的。因为“简单明了”这个定义本来同作者及上下文相关。
当然,推论一般被认为不如定理重要。
定律(Law)
为研究宇宙间不变的事实规律所归纳出的结论,不同于理论、假
设、定义、定理,是对客观事实的一种表达形式,通过大量具体的客
观事实经验累积归纳而成的结论。
科学定律是一种理论模型,它用以描述特定情况、特定尺度下的
现实世界,在其它尺度下可能会失效或者不准确。没有任何一种理论
可以描述宇宙当中的所有情况,也没有任何一种理论可能完全正确。
公理(Axiom)
在传统逻辑中,公理是没有经过证明,但被当作不证自明的一个
命题。因此,其真实性被视为是理所当然的,且被当做演绎及推论其
他(理论相关)事实的起点。当不断要求证明时,因果关系毕竟不能
无限地追溯,而需停止于无需证明的公理。通常公理都很简单,且符
合直觉,如“a+b=b+a”。
不同的系统,会预计不同的公理。
在这两种意义之下,公理都是用来推导其他命题的起点。和定理
不同,一个公理(除非有冗余的)不能被其他公理推导出来,否则它
就不是起点本身,而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为
定理了。
逻辑公理通常是被视为普遍为真的陈述(如(A ∧B) →A),而非
逻辑公理(如a + b = b + a)则实际上是在一特定数学理论(如算术)
中的定义性的性质。在后者的意思之下,公理又可被称为“公设”。
理论(Theory)
理论又称学说或学说理论,指人类对自然、社会现象,按照已有
的实证知识、经验、事实、法则、认知以及经过验证的假说,经由一
般化与演绎推理等等的方法,进行合乎逻辑的推论性总结。
接近科学的学说是科学的,反之则是违背科学的或者说伪科学;
任何自然科学的产生,源自对自然现象观察。人类借由观察实际存在
的现象或逻辑推论,而得到某种学说。任何学说在未经社会实践或科
学试验证明以前,只能属于假说。如果假说能借由大量可重现的观察
与实验而验证,并为众多科学家认定,这项假说就可被称为科学理论。
wikipedia
定理,是经过受逻辑限制的证明为真的陈述(一般在数学中,只
有重要或有趣的陈述才叫定理)。
——梁启超《近世文明初祖倍根笛卡儿之学说》:“凡一现象之
定理,既一旦求而得之,因推之以徧,按其同类之现象,必无差谬,
其有差谬者,非定理也。”
定律,是由不变的事实规律所归纳出的结论,是对客观事实的一
种表达形式,是通过大量具体的客观事实经验累积归纳而成的结论。
——定理属于理论。定律属于规律。理论和规律的区别,能明白
吧?规律不考察其中涉及到的原理/机理/理论依据。——两个“定”
字表达的是“一定条件下确定的”。
理论,是按照已有的实证知识、经验、事实、法则、认知以及经
过验证的假说,经由一般化与演绎推理等等的方法,进行合乎逻辑的
推论性总结。
——不考察是否经过检验、是否确定为真,只考察是否合乎逻辑。
跟定理的区别,明白吧,定理是经过检验(一定条件下)确定为真的。
概念,是抽象的、普遍的想法、观念或充当指明实体、事件或关
系的范畴或类的实体。
——一个东西“是什么”,一件事“是怎么回事”,这些看法/理
解就是概念。
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