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2024年6月3日发(作者：)

浙北G2期中联考

2023学年第一学期高二数学试题

（答案在最后）

考生须知：

1.全卷分试卷和答卷.试卷4页，答卷4页，共8页.满分150分，考试时间120分钟.

2.本卷的答案必须做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效.

3.请用钢笔或水笔将班级､姓名､试场号､座位号分别填写在答卷的相应位置上.

4.本试题卷分选择题和非选择题两部分.

试卷

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.直线

xy50

的倾斜角

(

A.

135

【答案】

D

【解析】

【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系即可得出．

【详解】解:设直线

xy50

的倾斜角为

，

将直线

xy50

的方程变为

yx5

，

所以直线的斜率

k1

，

即

tan

1

，

又因为

0

180

，

所以

45

．

故选：

D

．

2.在空间直角坐标系

Oxyz

中，点

P(1,1,1)

关于平面

xOz

对称的点Q的坐标是（

A.

(1,1,1)

【答案】

D

【解析】

【分析】

由点

P(1,1,1)

关于平面

xOz

对称点的横，纵，竖坐标的关系求解即可.

B.

(1,1,1)

C.

(1,1,1)

）

B.

120

)

C.

60

D.

45

D.

(1,1,1)

【详解】点

P(1,1,1)

关于平面

xOz

对称点，横坐标，竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数

则对称点

Q(1,1,1)

故选：

D

【点睛】本题主要考查了求关于坐标平面对称点的坐标，属于基础题

.

3.下列方程是圆

(x1)

2

(y3)

2

1

的切线方程的是

A.

xy0

【答案】

C

【解析】

【详解】试题分析：已知圆的圆心为

C(1,3)

，半径为1，圆心

C

只有到直线

x0

的距离为1，即此直

线与圆相切．故选

C

．

考点：直线与圆的位置关系．

4.已知

ABC

的内角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c

，若

sin

2

B3sinAsinCsin

2

Asin

2

C

，则

B

（

A.

）

B.

xy0

C.

x0

D.

y0

3

B.

6

C.

4

D.

2

【答案】

B

【解析】

【分析】由正弦定理角化边，再利用余弦定理可得答案

.

【详解】因为

sin

2

B3sinAsinCsin

2

Asin

2

C

，

所以，由正弦定理得

b

2

3aca

2

c

2

，

即

a

2

c

2

b

2

3ac

，

a

2

c

2

b

2

3

由余弦定理得

cos

B

．

2

ac

2

因为

0B

，

所以

B

故选：

B.

5.平行六面体

ABCDA

1

2

，

DAB90

，

A

1

B

1

C

1

D

1

中，

ABAD1

，

AA

1

ADA

1

AB120

，

．

6

则线段

AC

1

的长度是（

A.

4

【答案】

D

【解析】

）

B.

22

C.

2

D.

2



【分析】根据

AC

1

ABADAA

1

，根据向量数量积

的

定义和运算律可求得



2

AC

1

，由此可得结果.

【详解】



AC

1

ACCC

1

ABADAA

1

，



2



AC

1

ABADAA

1



2



2



2



2



ABADAA

1

2ABAD2ABAA

1

2ADAA

1

11404cos120

4cos120

6222

，



AC

1

2

，即线段

AC

1

的长度为

2

.

故选：

D.

x

2

y

2

6.已知

F

1

,F

2

分别是椭圆



1

的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点

P

满足

F

1

PF

2

60

，则实数

12

m

m

的取值范围是（

A.

）

B.

0,9

0,6

C.

0,3

D.

3,6

【答案】

A

【解析】

x

2

y

2

【分析】由

F

1

，

F

2

分别是椭圆

C

：



1

的左、右两个焦点，求得m的范围，当点

P

位于短轴端点

12

m

时，

F

1

PF

2

取最大值，要使

C

上存在点

P

满足

F

1

PF

2

60

，则

F

1

PF

2

的最大值大于或等于

60

，从而可

得答案.

x

2

y

2

【详解】解：由

F

1

，

F

2

分别是椭圆

C

：



1

的左、右两个焦点，

12

m

则

0m12

，当点

P

位于短轴端点时，

F

1

PF

2

取最大值，

要使

C

上存在点

P

满足

F

1

PF

2

60

，则

F

1

PF

2

的最大值大于或等于

60

，

即点

P

位于短轴端点时，

F

1

PF

2

大于或等于

60

，

则

sin

F

1

PO

故选：

A.

OF

1

PF

1

c

12

m

1



，解得

0m9

．

a

2

12

7.如图，在三棱柱

ABCA

1

B

1

C

中，底面

ABC

为正三角形，侧棱垂直于底面，

AB4,AA

1

6

.若E是

棱

BB

1

的中点，则异面直线

A

1

E

与

AC

1

所成角的余弦值为（）

A.

13

13

B.

213

13

C.

313

13

D.

13

26

【答案】

A

【解析】





【分析】以

{a,b,c}

为基底表示出

A

1

E,AC

1

，利用向量夹角公式计算出异面直线

A

1

E

与

AC

1

所成角的余弦

值

.





【详解】设

ABa,ACb,AA

1

c

，则

{a,b,c}

构成空间的一个基底，



1

A

1

EA

1

B

1

B

1

Eac

，

2



AC

1

ACCC

1

bc

，

1





a

c

(

b

c

)



A

1

E

AC

1

2



cos

A

1

E

,

AC

1



1



|

A

1

E

|

|

AC

1

|

a

c

|

b

c

|

2



1



1

2

1

a

b

b

c

a

c

c

4

4

cos60



0

0



6

2

22

2

2

2



1

2

2



2



2

1

a

a

c

c

b

2

b

c

c

a

c

b

c

4

2





8

18

1

4

2

0



6

2

4

2

0

6

2

4

10

5

213



13

.

13

13

.

13

所以异面直线

A

1

E

与

AC

1

所成角的余弦值为

故选：

A

【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题

.

x

2

y

2

8.已知

F

为双曲线

2

2

1(

a

b

0)

的右焦点，过点

F

的直线分别交两条渐近线于

A,B

两点.若

ab

OAAB

，且

3ABOAOB

，则该双曲线的离心率是（

A.

）

D.

10

3

B.

5

2

C.

10

2

5

【答案】

A

【解析】

AB

3

4

tan

AOB



，结合

AOB

与渐近线的倾斜【分析】根据勾股关系确定

OAAB

,

进而可得

OA

4

3

角的倍角关系求解

.

【详解】

不妨设

OA

的倾斜角为锐角，

因为

a

b

0

，所以

0

b

π

1

，所以渐近线

l

1

的倾斜角取值范围为

0,

，

a

4

b

2

c

2

a

2

2

2

所以

1e2,

2



e

1

1,

2

aa

Q3|AB||OA||OB|,OAAB,

|AB|

2

|OB|

2

|OA|

2

(|OB||OA|)(|OB||OA|)3(|OB||OA|)|AB|

,

所以

|AB|3(|OB||OA|)

，

所以

|

OB

|

|

OA

|

1

|

AB

|

，

3

又因为

3ABOAOB

，所以

OA

在直角三角形

OAB

中，

tan

AOB

4

AB

，

3

AB

3

,

4

OA

设直线

OA

的斜率为

k

tan

所以

tan

AOB

1

AOB

，

2

1

2

k

3

2

k

，所以，解得

或

k3

（舍），

3k8k30

2

1

k

4

3

2

b

1

b

10

所以

，所以该双曲线的离心率为

e

1



，

a

3

3

a

故选：

A.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有

两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.若直线

ykx1

与圆C：

x2

y

2

9

相交于A，B两点，则

AB

的长度可能

等于（

．．

2

）

A.2

【答案】

CD

【解析】

B.3C.4D.5

【分析】首先找到直线所过定点

P

0,1

，根据直线所截圆的弦长公式求出弦长

AB

的取值范围，进而求出

AB

的长度可能的取值.

【详解】已知直线

ykx1

恒过点

P

0,1

，圆

C:

x2

y

2

9

的圆心坐标为

C

2,0

，半径

r3

.

2

当直线经过圆心时，所得弦长

AB

最大，

AB

max

2r6

；

2

当直线与

PC

所在直线垂直时，所得弦长

AB

最小，

AB

min

2r

2

PC2954

，

因此可得：

4AB6

，故

AB

的长度可能等于4或5.

故选：

CD

10.若

a,b,c

是空间的一个基底，则下列向量组可以作为空间的基底的是（



）





A.

ab

、

ab

、

a

C.

ab

、

abc

、

bc

【答案】

BC

【解析】

【分析】利用空间向量基底的概念判断可得出结论

.





B.

ab

、

ab

、

c



D.

ab

、

abc

、

c



rrr



rrr

【详解】因为

a,b,c

是空间的一个基底，

1









对于A选项，

a

a

b

a

b

，则

ab

、

ab

、

a

共面，A不满足；

2





对于B选项，假设

ab

、

ab

、

c

共面，则存在

、

R

，



使得

c

ab

ab

a

b

，



所以，

c

、

a

、

b

共面，矛盾，假设不成立，







所以，

ab

、

ab

、

c

可以构成空间中的一组基底，B满足；

对于C选项，假设

ab

、

abc

、

bc

共面，



rrr





则存

在

m

、

nR

，使得

abcmabnbcma

mn

bnc

，



m

1

因为

a,b,c

是空间的一个基底，则

m

n

1

，该方程组无解，

n

1



所以，假设不成立，故

ab

、

abc

、

bc

可以构成空间中的一组基底，C满足；



rrr



rrrrrr



rrr

对于D选项，因为

abcabc

，则

ab

、

abc

、

c

共面，D不满足.



故选：

BC.

x

2

y

2

11.已知

F

为椭圆



1

的右焦点，直线

xmy0

mR

与椭圆交于

P,Q

两点，直线

PF

与椭圆

259

交于另一点

M

，则（

A.

PM

的最小值为

）

18

5

B.

△FPQ

周长的最小值为

16

C.

PF

的最大值为9

D.直线

PM

与

QM

的斜率之积为

【答案】

ABD

【解析】

【分析】根据椭圆的标准方程及椭圆的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解

.

9

25

x

2

y

2

【详解】由椭圆的方程



1

，可得

a5,b3

，则

ca

2

b

2

4

，

259

对于

A

中，因为

PM

经过椭圆的交点，由椭圆的性质，可得通径最短，

18

2

b

2

18

其中通径长为

，所以

PM

的最小值为，所以A正确；

5

a

5

对于B中，根据椭圆的对称性，可得

PF

1

FQ

，

由椭圆的定义可得

PFQFPFPF

1

2a10

，

又由过原点的直线交得椭圆的弦长中，短轴长最短，其中短轴长为

2b6

，

所以

△FPQ

周长的最小值为

16

，所以

B

正确；

x

2

y

2

设椭圆的长轴的两个端点分别为

A

1

,A

2

，由椭圆



1

259

根据椭圆的性质，可得

A

1

Fac549

，此时直线

A

1

F

的斜率为

0

，

因为直线

xmy0

mR

斜率不为

0

，所以

PF9

，所以C不正确；

设

M(x

1

y

1

),P(x

2

,y

2

)

，则

Q(x

2

,y

2

)

，

则在

PM,QM

的斜率都存时，可得

k

PM

y

1

y

2

y

y

2

,

k

QM

1

，

x

1

x

2

x

1

x

2

(9

9

2

9

2

x

1

)

(9

x

2

)

9

，所以D正确.

2525



2

x

1

2

x

2

25

则

k

PM

k

QM

y

1

y

2

y

1

y

2

y

y



x

1

x

2

x

1

x

2

x

x

2

1

2

1

2

2

2

2

故选：

ABD.

12.如图，直三棱柱

ABC-A

1

B

1

C

1

中，

AA

1

AB1

，

AC2

，

BC

端点），则（）

5

．点P在线段

B

1

C

上（不含

A.存

在

点P，使得

AB

1

BP

B.

PAPB

的最小值为有

5

C.

ABP

面积的最小值为

5

5

D.三棱锥

B

1

PAB

与三棱锥

C

1

PAC

的体积之和为定值

【答案】

ACD

【解析】

【分析】以

A

为原点，

AB

，

AC

，

AA

1

所在直线分别为

x

轴、

y

轴、

z

轴，建立空间直角坐标系，



写出各点坐标，其中点

P

坐标，可设

CP

CB

1

（

0

1

），即可得出.



对于A选项，要使

AB

1

BP

，即

AB

1

BP0

，得到关于

的方程，解方程即可；

对于B选项，将

△BB

1

C

和

VAB

1

C

沿

B

1

C

展开，连接

AB

，

PAPB

的最小值即

AB

的长度，利用锐角三

角函数和两角和的余弦公式求出

cosABC

，再由余弦定理即可得到

AB

；

对于C选项，设

ABP

（

0

），利用向量的夹角公式求得

cos

，由同角三角函数的平方关系

2

1

ABPB

sin

ABP

，结合二次函数的性质讨论最值即可；

2

得到

sin

，代入三角形面积公式：

S

△

ABP

对于D选项，利用等体积法得

V

B

1

PAB

V

C

1

PAC

V

P

ABB

1

V

P

ACC

1

，即可求解.

【详解】由题意得，

BC

2

AB

2

AC

2

，即

AB

AC

，

又

在直三棱柱

ABC-A

1

B

1

C

1

中，

AA

1

底面

ABC

，

AB

平面

ABC

，

AC

平面

ABC

，

AA

1

AB

，

AA

1

AC

，则以

A

为原点，

AB

，

AC

，

AA

1

所在直线分别为

x

轴、

y

轴、

z

轴，建立如

图所示空间直角坐标系

.

C

0,2,0

，

A

1

0,0,1

，

B

1

1,0,1

，

C

1

0,2,1

，

因为

AA

1

AB1

，

AC2

，所以

A

0,0,0

，

B

1,0,0

，

P

x,y,z

，则

CP

x,y2,z

，

CB

1

1,2,1

，



设

CP

CB

1

（

0

1

），则

x,y2,z

1,2,1

，解得

xλ

，

y22

，

z

，



所以

P

,22

,

，





BP

1,22

,

，对于A选项，

AB

1

1,0,1

，



1

要使

AB

1

BP

，即

AB

1

BP1

1

0

22

1

0

，解得

，



1



当

CPCB

1

，即

P

在

CB

1

中点时，

AB

1

BP

，故A选项正确；

2

2

对于B选项，如图所示，将

△BB

1

C

和

VAB

1

C

沿

B

1

C

展开，如图所示，

连接

AB

交

B

1

C

于点

T

，可知

PAPBAB

，当点

P

与点

T

重合时取得最小值

AB

，

由题意得，

AC2

，

BB

1

1

，

AB

1

所以

cos

B

1

CA

2

，

BC5

，

B

1

C6

，

2

6

AC

2

AB

1

，

sin

B

1

CA

B

1

C

6

B

1

C

，

cos

B

1

CB

BC

B

1

C

5

6

，

sin

B

1

CB

BB

1

1

，

B

1

C

6

则

cos

ACB

cos

B

1

CA



B

1

CB

2

6

5

6

2

6

1

6

25

2

，

6

在

ABC

中，由余弦定理得，

AB

2

AC

2

BC

2

2ACBCcosACB

2

2



5

2

2

2

5

25

27

210



63

2

5

3

2

，则

AB

6

15

，

3

6

15

，故B选项错误；

3





对于C选项，

AB

1,0,0

，

BP

1,22

,

，设

ABP

（

0

所以

PAPB

的最小值为





AB

BP

1

1



则

cos

cos

AB

,

BP





，即

cos

，

PB

PB

ABBP

1

所以

sin

1

PB



2

），

2

PB

1

PB

2

2

2

5

2

8

4

，

PB

2

则

S

△

ABP

115

2

8

414

4



AB

PB

sin

ABP



1

PB



5

，

22

PB

25

5

因为

0

1

，所以当

=

4

145

时，

S

△

ABP

取得最小值

，故C选项正确；

255

5

1111

对于D选项，

V

B

1

PAB

V

C

1

PAC

V

P

ABB

1

V

P

ACC

1



AB

BB

1

y

P



AC

CC

1

x

P

3232

11111111



1

1

2

2



2

1



，故D选项正确，

32323333

故选：

ACD.

【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中的动点的相关线段的位置关系、线段长度、面积和体积的最值

问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理及转化思想的应用

.

解答本题关键在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决空间的中的相关问题，同时对于转化思想的

本文标签： 空间直线椭圆利用坐标

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