【数据结构

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有序表是指其中的所有元素以递增或递减方式有序排列。为了简单，假设有序表以递增排列。

有序表的基本运算

• InitLIst(&L)：初始化有序表L
• DestoryList(&L)：销毁有序表L
• ListEmpty(L)：判断空表
• ListLength(L)：求有序表L的元素个数
• DispList(L)：输出表L
• GetElem(L, i, &e)：求有序表L的第i个元素
• LocateElem(L, e)：返回第一个元素为e的序号
• ListInsert(&L, e)：插入一个元素值为e的元素
• ListDelete(&L, i, &e)：删除第i个元素，并返回删除元素值

由于有序表中元素之间的逻辑关系与线性表中的完全相同，所以可以采用顺序表（SqList）和链表（单链表LinkNode、双链表DLinkNode）进行存储。

有序表的ListInsert()算法

1. 用顺序表存储有序表

// 在有序表里插入元素e
void ListInsert(SqList *&L, ElemType e) {  int i=0, j;while(i<L->length && L->data[i]<e) {  // 找到小于e的位置i++;}for(j=ListLength(L); j<i; j--) {  // 将data[i]及后面的元素向后移动一位L->data[i+1] = L->data[i];}L->data[i] = e;L->length++;
}

2. 用单链表存储有序表

void ListInsert(LinkNode *&L, ElemType e) {LinkNode *p=L, *s;while(p->next->data<e && p->next!=NULL) {  // 找到小于e的位置p = p->next;}s = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));  // 新建一结点，将e元素存入结点s的数据域中，再将s结点插入该位置s->next = NULL;s->data = e;s->next = p->next;p->next = s;
}

有序表的归并算法

假设有两个有序表LA和LB，设计一个算法，将它们合并成一个有序表LC（假设每个有序表中和两个有序表间均不存在重复元素），要求不破坏原有表LA和LB.

思路：将两个有序表合并成一个有序表可以采用二路归并算法。

分别扫描LA和LB两个有序表，当两个有序表都没有遍历完时循环：比较LA和LB的当前元素，将其中较小的元素放入LC中，再从较小元素所在的有序表中取下一个元素。重复这一过程，直到LA或LB遍历完毕，最后将未遍历完的有序表中余下的元素放入LC中。

举例：LA=(1,3, 5)，LB=(2, 4, 8, 10)，以下是其二路归并过程。

1. 顺序表存放有序表时的二路归并算法

void UnionList(SqList *LA, SqList *LB, SqList *&LC) {int i=0, j=0, k=0;  // i, j分别是LA, LB的下标，k为LC元素的个数LC=(SqList *)malloc(sizeof(SqList));while(i<LA->length && j<LB->length) {  // 比较i和j对应的元素if(LA->data[i] < LB->data[j]) {LC->data[k] = LA->data[i];k++;i++;}else{LC->data[k] = LA->data[j];k++;j++;}}while(i<LA->length){  // LA没有遍历完，将其余的元素全部放入LC中LC->data[k] = LA->data[i];  k++;i++;}while(j<LB->length){  // LB没有遍历完，将其余的元素全部放入LC中LC->data[k] = LB->data[j];  k++;j++;}LC->length = k;}

2. 单链表存放有序表时的二路归并算法

void UnionList(LinkNode *LA, LinkNode *LB, LinkNode *&LC) {LinkNode *pa=LA->next, *pb=LB->next, *r, *s;  LC = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));r = LC;while(pa!=NULL && pb!=NULL) {if(pa->data < pb->data) {s = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));s->data = pa->data;  // 复制pa结点r->next = s;  // 连接到LC头结点后面r = s;pa = pa->next;}else{s = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));s->data = pb->data;  // 复制pb结点r->next = s;  // 连接到LC头结点后面r = s;pb = pb->next;}}while(pa!=NULL) {  // LA剩余s = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));s->data = pa->data;  // 复制pa剩下的结点r->next = s;  // 连接到LC头结点后面r = s;pa = pa->next;}while(pb!=NULL) {  // LB剩余s = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));s->data = pb->data;  // 复制pb剩下的结点r->next = s;  // 连接到LC头结点后面r = s;pb = pb->next;}r->next = NULL; // 将LC表的尾结点的next域置空
}

两种算法的设计思路相同，我们来计算一下它们的时间复杂度。

第1个while循环在最坏情况下的执行次数为O(ListLength(LA)+ListLength(LB))，第2个while循环在最坏情况下的执行次数为O(ListLength(LA))，第3个while循环在最坏情况下的执行次数为O(ListLength(LB))，所以算法的时间复杂度为O(ListLength(LA)+ListLength(LB))。

有序表的应用

算法1：留下三个表数据值相同的结点

例题

已知3个单链表存储的有序表LA，LB，LC，元素值依次递增，使链表LA中仅留下3个表中均包含的数据元素的结点，且没有数据值相同的结点，并释放LA中其他结点。要求算法的时间复杂度为O(m+n+p)，其中m，n，p分别为3个表的长度。（假设每个单链表不存在数据值相同的结点，但3个单链表中可能存在数据值相同的结点）

思路

先以单链表LA的头结点作为一个空表，r指向新建单链表的尾结点，以pa遍历单链表LA中的数据结点，判断它是否在单链表LB，LC中，若同时在，则为公共元素，将其连在r结点后面，否则删除它。

算法

void Commnode(LinkNode *&LA, LinkNode *LB, LinkNode *LC){LinkNode *pa=LA->next, *pb=LB->next, *pc=LC->next, *q, *r;LA->next = NULL;r = LA;  // r指向新单链表的尾结点while(pa!=NULL) {  // 查找公共结点并建立新链表LAwhile(pb!=NULL && pa->data > pb->data) {  // pa结点与LB中的pb结点比较pb=pb->next;}while(pc!=NULL && pa->data > pc->data) {  // pa结点与LC中的pc结点比较pc=pc->next;}if(pb!=NULL && pc!=NULL && pa->data == pb->data && pa->data == pc->data){ // 若pa结点是公共结点r->next = pa;r = pa;pa = pa->next;}else{  // 若pa结点不是公共结点，删除pa结点q = pa;pa = pa->next;free(q);}}r->next=NULL;
}

算法2：删除值域重复的结点

例题

已知一个有序单链表L(允许出现值域重复的结点)，设计一个高效的算法删除值域重复的结点。

思路

有序单链表中，相同值域的结点都是相邻的。用p遍历递增单链表，所指结点的值域=后继结点值域，则删除后者。

算法

void dels(LinkNode *&L){LinkNode *p=L->next, *q;while(p->next!=NULL) {if(p->data==p->next->data){  // 找重复值域的结点q = p->next;p->next = q->next;free(q);}else{p = p->next;}}
}

该算法的时间复杂度为O(n)，其中n为等长有序单链表L中数据结点的个数。

算法3：找出两个序列的中位数

例题

一个长度为n（n>1）的升序序列S，处在第n/2个位置的数称为S的中位数。现有两个等长的升序序列A和B，设计一个在时间和空间两方面都尽可能高效的算法，找出两个序列A和B的中位数。假设升序序列采用顺序表存储。

思路

当升序序列采用顺序表存储，一个升序序列S的中位数就是S->data[S->length/2]元素。而两等长升序序列的中位数，是将它们二路归并后的一个升序序列S的中位数。实际上不需要求出S的全部元素，用k记录当前归并的元素的个数，当k=S1->length时，进行归并的那个元素就是中位数。

算法

ElemType M_Search(SqList *A, SqList *B){  // A、B长度相同int i=0, j=0, k=0;while(i<A->length && j<B->length){  // 两个序列均没有扫描完k++;  // 当前归并的元素个数+1if(A->data[i] < B->data[j]){  // 归并较小的元素 A->data[i]if(k==A->length){return A->data[i];}i++;}else{  // 归并较小的元素 B->data[j]if(k==B->length){return B->data[j];}j++;}}
}

该算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)，其中n为等长有序顺序表A、B中元素的个数。

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