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2024年5月3日发(作者：)
伽马积分公式推导
伽马积分是一种特殊函数，常常用于数学和物理学中的积分计算中。
它在加法、乘法和导数等运算规则中有很多应用。本文将从基本定义开始，
逐步推导出伽马积分的公式。
首先，我们定义伽马函数（gamma function）为：
Γ(x) = ∫[0, ∞] t^(x-1) * e^(-t) dt
其中，x是实数。伽马函数是连续函数，且在区间(0,∞)内定义。
接下来，我们使用分部积分法来推导伽马函数的性质。分部积分法的
公式如下：
∫u * v dx = u * v - ∫v * du dx
我们取 u = t^(x-1) 和 dv = e^(-t) dt。根据分部积分法，我们有：
du = (x-1) * t^(x-2) dt
v=-e^(-t)
将u和v的值代入分部积分法的公式中，得到：
∫t^(x-1) * e^(-t) dt = -t^(x-1) * e^(-t) + ∫(x-1) * t^(x-2)
* e^(-t) dt
我们可以将原积分重新表示为以下形式：
∫t^(x-1) * e^(-t) dt = -(t^(x-1) * e^(-t)) + (x-1) *
∫t^(x-2) * e^(-t) dt
接下来，我们将对第二项应用同样的分部积分法。令 u = t^(x-2)
和 dv = e^(-t) dt：
du = (x-2) * t^(x-3) dt
v=-e^(-t)
将u和v的值代入分部积分法的公式中，得到：
∫t^(x-2) * e^(-t) dt = -t^(x-2) * e^(-t) + (x-2) * ∫t^(x-3)
* e^(-t) dt
将上式代入原积分表达式中，得到：
∫t^(x-1) * e^(-t) dt = -(t^(x-1) * e^(-t)) + (x-1) * (-
(t^(x-2) * e^(-t)) + (x-2) * ∫t^(x-3) * e^(-t) dt)
通过简化上式，我们可以得到如下形式：
∫t^(x-1) * e^(-t) dt = -(t^(x-1) * e^(-t)) + (x-1) * (-
(t^(x-2) * e^(-t)) + (x-2) * (-(t^(x-3) * e^(-t)) + ...
我们可以看出，该表达式可以继续展开为一个无穷级数的形式。
现在，我们定义伽马积分（gamma integral）为：
Γ(x) = ∫[0, ∞] t^(x-1) * e^(-t) dt
我们可以将伽马积分的表达式代入上述无穷级数的形式中，得到：
Γ(x)=-(∞^x*e^(-∞))+0^x*e^0+x*(-(∞^(x-1)*e^(-∞))+(∞^(x-
2)*e^(-∞)+(x-1)*(-(∞^(x-2)*e^(-∞))+...
显然，当t趋向于无穷时，t^x和t^(x-1)的值将会趋向于0。因此，
我们可以将无穷的项去掉，得到：
Γ(x)=0^x*e^0+(x-1)*[0^(x-1)*e^0+(x-2)*[0^(x-2)*e^0+...
由于0^x=0，因此上述式子可以简化为：
Γ(x)=x*(x-1)*(x-2)*...
这个结果是一个递归的公式，用于计算伽马积分。
最后，我们可以将伽马积分的递归公式重新表示为以下形式：
Γ(x)=(x-1)!
这就是伽马积分的公式推导。
总结起来，本文从伽马函数的定义开始，利用分部积分法逐步推导得
出了伽马积分的公式。伽马积分是一种常用的特殊函数，具有广泛的应用
领域。它在数学和物理学中的积分计算中具有重要的作用。
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