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2024年2月28日发(作者:)
2021-2022学年辽宁省大连市旅顺口区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)
1.下列四个图形中,是轴对称图形的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.下列说法正确的是( )
A.形状相同的两个三角形全等
B.面积相等的两个三角形全等
C.完全重合的两个三角形全等
D.所有的等边三角形全等
3.下列运算正确的是( )
A.a5÷a2=a3
C.3a2﹣2a=a2
B.a2•a3=a6
D.(a+b)2=a2+b2
4.如图,点A、D在线段BC的同侧,连接AB、AC、DB、DC,已知∠ABC=∠DCB,老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB.以下是四个同学补充的条件,其中错误的是( )
A.∠A=∠D
B.AC=DB
C.AB=DC
D.∠ABD=∠DCA
5.如图,在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE,再分别以点D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C,作射线OC,OC就是∠AOB的角平分线.这是因为连接CD,CE,可得到△COD≌△COE,根据全等三角形对应角相等,可得∠COD=∠COE.在这个过程中,得到△COD≌△COE的条件是( )
A.SAS
B.AAS
C.ASA
D.SSS
6.计算3x2•(﹣2x3)的结果是( )
A.6x5
B.﹣6x5
C.﹣2x6
D.2x6
7.点(﹣1,2)关于x轴对称的点的坐标是( )
A.(1,2)
B.(1,﹣2)
C.(﹣1,﹣2)
D.(2,﹣1)
8.如图,△ABC≌△DEC,B、C、D在同一直线上,且CE=5,AC=7,则BD长( )
A.12
B.7
C.2
D.14
9.将一个长为2a,宽为2b的矩形纸片(a>b),用剪刀沿图1中的虚线剪开,分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片,然后按图2的方式拼成一个正方形,则中间小正方形的面积为( )
A.a2+b2
B.a2﹣b2
C.(a+b)2
D.(a﹣b)2
10.如图,△AOB关于x轴对称图形△A′OB,若△AOB内任意一点P的坐标是(a,b),则△A′OB中的对应点Q的坐标是( )
A.(a,b)
B.(﹣a,b)
C.(﹣a,﹣b)
D.(a,﹣b)
二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)
11.如图,△ABC≌△DFE,∠B=80°,∠ACB=30°,则∠D=
.
12.计算:(﹣x3y)2=
.
13.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长是
cm.
14.计算:10a2b3÷(﹣5ab3)=
.
15.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2,BE=1.则DE=
.
16.如图,△ABC为等边三角形,若∠DBC=∠DAC=α(0°<α<60°),则∠BCD=
(用含α的式子表示).
三、解答题(本题共4小题,其中17、18、19题各10分,20题9分,共39分)
17.计算:
(1)3y•5y2;
(2)(15y2﹣5y)÷5y.
18.如图,E为BC上一点,AC∥BD,AC=BE,∠ABC=∠D.求证:AB=ED.
19.如图,△ABC中,已知点A(﹣1,4),B(﹣2,2),C(1,1).
(1)作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)写出点A1,B1,C1的坐标.
20.如图,在△ABC中,∠B=60°,过点C作CD∥AB,若∠ACD=60°,求证:△ABC是等边三角形.
四、解答题(本题共3小题,其中21题9分,22、23题各10分,共29分
21.如图,AD是△ACE的角平分线,BA=BC,BD∥AE.
求证:∠C=∠E.
22.如图,△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,且AD=BD=BC,求∠A的度数.
23.小轩计算一道整式乘法的题:(2x+m)(5x﹣4),由于小轩将第一个多项式中的“+m”抄成“﹣m”,得到的结果为10x2﹣33x+20.
(1)求m的值;
(2)请计算出这道题的正确结果.
五、解答题(本题共3小题,其中24、25题各11分,26题12分,共34分)
24.长方形的长为a厘米,宽为b厘米,其中a>b>1,如果将原长方形的长增加3厘米,宽减少1厘米,得到的新长方形面积记为S1;如果将原长方形的长和宽各增加1厘米,得到的新长方形面积记为S2.
(1)试比较S1与S2的大小,并说明理由;
(2)如果S1=2S2﹣10,求将原长方形的长减少1,宽增加3厘米后得到的新长方形面积.25.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC=AD,过点A作AE⊥BC,垂足为E,且AE=BE.连接BD,交AE于点F.
(1)探究∠CAE与∠DAE的数量关系,并证明;
(2)探究线段AF,CE,FE的数量关系,并证明你的结论.
26.如图,在△ABC中,AB>AC,∠ABC=45°,点F是射线AB上一点,CA=CF,过点A作AE⊥FC,垂足为E,AE与BC的延长线相交于点D.
(1)求证:AC=AD;
(2)过点D作DH∥AB,过点C作CH⊥DH,垂足为H,探究BF与DH的数量关系,并证明.
参考答案
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)
1.下列四个图形中,是轴对称图形的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【分析】根据轴对称的概念对各图形分析判断即可得解.
解:第一个图形是轴对称图形,
第二个图形是轴对称图形,
第三个图形是轴对称图形,
第四个图形不是轴对称图形,
轴对称图形共有3个.
故选:C.
2.下列说法正确的是( )
A.形状相同的两个三角形全等
B.面积相等的两个三角形全等
C.完全重合的两个三角形全等
D.所有的等边三角形全等
【分析】根据全等形的概念:能够完全重合的两个图形叫做全等形,以及全等三角形的判定定理可得答案.
解:A、形状相同的两个三角形全等,说法错误,应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等;
B、面积相等的两个三角形全等,说法错误;
C、完全重合的两个三角形全等,说法正确;
D、所有的等边三角形全等,说法错误;
故选:C.
3.下列运算正确的是( )
A.a5÷a2=a3
C.3a2﹣2a=a2
B.a2•a3=a6
D.(a+b)2=a2+b2
【分析】分别根据同底数幂的除法法则,同底数幂的乘法法则,合并同类项法则以及完全平方公式逐一判断即可.
解:A、a5÷a2=a3,故本选项符合题意;
B、a2•a3=a5,故本选项不合题意;
C、3a2与﹣2a不是同类项,所以不能合并,故本选项不合题意;
D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故本选项不合题意;
故选:A.
4.如图,点A、D在线段BC的同侧,连接AB、AC、DB、DC,已知∠ABC=∠DCB,老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB.以下是四个同学补充的条件,其中错误的是( )
A.∠A=∠D
B.AC=DB
C.AB=DC
D.∠ABD=∠DCA
【分析】因为∠ABC=∠DCB,BC共边,对选项一一分析,选择正确答案.
解:A、补充∠A=∠D,可根据AAS判定△ABC≌△DCB,故A正确;
B、补充AC=DB,SSA不能判定△ABC≌△DCB,故B错误;
C、补充AB=DC,可根据SAS判定△ABC≌△DCB,故C正确;
D、补充∠ABD=∠DCA,可根据ASA判定△ABC≌△DCB,故D正确.
故选:B.
5.如图,在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE,再分别以点D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C,作射线OC,OC就是∠AOB的角平分线.这是因为连接CD,CE,可得到△COD≌△COE,根据全等三角形对应角相等,可得∠COD=∠COE.在这个过程中,得到△COD≌△COE的条件是( )
A.SAS
B.AAS
C.ASA
D.SSS
【分析】由作图可知,OE=OD,CE=CD,OC=OC,由SSS证明三角形全等即可.
解:由作图可知,OE=OD,CE=CD,OC=OC,
∴△COD≌△COE(SSS),
∴∠COD=∠COE,
故选:D.
6.计算3x2•(﹣2x3)的结果是( )
A.6x5
B.﹣6x5
C.﹣2x6
D.2x6
【分析】根据单项式乘以单项式的乘法法则,单项式数字因式的积作为积的因子,字母因式的积作为积的因子,故3x2•(﹣2x3)=﹣6x5
解:3x2•(﹣2x3)
=3×(﹣2)•(x2•x3)
=﹣6x5.
故选:B.
7.点(﹣1,2)关于x轴对称的点的坐标是( )
A.(1,2)
B.(1,﹣2)
C.(﹣1,﹣2)
D.(2,﹣1)
【分析】根据关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数,可得答案.
解:点(﹣1,2)关于x轴对称的点的坐标为(﹣1,﹣2),
故选:C.
8.如图,△ABC≌△DEC,B、C、D在同一直线上,且CE=5,AC=7,则BD长( )
A.12
B.7
C.2
D.14
【分析】由全等三角形的性质得到AC=DC=7,CB=CE=5,再根据BD=DC+CB即可
得解.
解:∵△ABC≌△DEC,
∴AC=DC,CB=CE,
∵CE=5,AC=7,
∴CB=5,DC=7,
∴BD=DC+CB=7+5=12.
故选:A.
9.将一个长为2a,宽为2b的矩形纸片(a>b),用剪刀沿图1中的虚线剪开,分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片,然后按图2的方式拼成一个正方形,则中间小正方形的面积为( )
A.a2+b2
B.a2﹣b2
C.(a+b)2
D.(a﹣b)2
【分析】由图1得,一个小长方形的长为a,宽为b,由图2得:中间空的部分的面积=大正方形的面积﹣4个小长方形的面积,代入计算.
解:中间空的部分的面积=大正方形的面积﹣4个小长方形的面积,
=(a+b)2﹣4ab,
=a2+2ab+b2﹣4ab,
=(a﹣b)2;
故选:D.
10.如图,△AOB关于x轴对称图形△A′OB,若△AOB内任意一点P的坐标是(a,b),则△A′OB中的对应点Q的坐标是( )
A.(a,b)
B.(﹣a,b)
C.(﹣a,﹣b)
D.(a,﹣b)
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数解答即可.
解:∵△AOB与△A'OB关于x轴对称,
∴点P(a,b)关于x轴的对称点为(a,﹣b),
∴点P的对应点Q的坐标是(a,﹣b).
故选:D.
二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)
11.如图,△ABC≌△DFE,∠B=80°,∠ACB=30°,则∠D=
70° .
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A,根据全等三角形的性质解答即可.
解:∵∠B=80°,∠ACB=30°,
∴∠A=180°﹣80°﹣30°=70°,
∵△ABC≌△DFE,
∴∠D=∠A=70°,
故答案为:70°.
12.计算:(﹣x3y)2=
x6y2 .
【分析】根据积的乘方法则求出即可.
解:(﹣x3y)2=x6y2,
故答案为:x6y2.
13.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长是
19
cm.
【分析】由已知条件,利用线段的垂直平分线的性质,得到AD=CD,AC=2AE,结合周长,进行线段的等量代换可得答案.
解:∵DE是AC的垂直平分线,
∴AD=CD,AC=2AE=6cm,
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm,
∴AB+BD+CD=13cm,
即AB+BC=13cm,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm.
故答案为19.
14.计算:10a2b3÷(﹣5ab3)= ﹣2a .
【分析】根据整式的除法运算法则即可求出答案.
解:原式=﹣2a,
故答案为:﹣2a.
15.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2,BE=1.则DE=
1 .
【分析】由“AAS”可证△ACD≌△CBE,可得AD=CE=2,BE=CD=1,即可求解.
解:∵BE⊥CE,AD⊥CE,
∴∠E=∠ADC=∠ACB=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°=∠ACD+∠BCE,
∴∠ACD=∠CBE,
在△ACD和△CBE中,
,
∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴AD=CE=2,BE=CD=1,
∴DE=CE﹣CD=1,
故答案为1.
16.如图,△ABC为等边三角形,若∠DBC=∠DAC=α(0°<α<60°),则∠BCD=
120°﹣α (用含α的式子表示).
【分析】在BD是截取BE=AD,连接CE,利用SAS证明△BEC≌△ADC,得CE=CD,∠BCE=∠ACD,从而证明△DCE是等边三角形,得∠BDC=60°,再利用三角形内角和定理即可.
解:如图,在BD是截取BE=AD,连接CE,
∵△ABC为等边三角形,
∴BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,
∵∠DBC=∠DAC=a,BE=AD,
∴△BEC≌△ADC(SAS),
∴CE=CD,∠BCE=∠ACD,
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,
∴∠DCE=∠ACB=60°,
∵CE=CD,
∴△DCE是等边三角形,
∴∠BDC=60°,
∴∠BCD=180°﹣60°﹣α=120°﹣α,
故答案为:120°﹣α.
三、解答题(本题共4小题,其中17、18、19题各10分,20题9分,共39分)
17.计算:
(1)3y•5y2;
(2)(15y2﹣5y)÷5y.
【分析】(1)直接利用单项式乘单项式计算得出答案;
(2)直接利用整式的除法运算法则计算得出答案.
解:(1)原式=3×5(y•y2)
=15y3;
(2)原式=15y2÷5y﹣5y÷5y
=3y﹣1.
18.如图,E为BC上一点,AC∥BD,AC=BE,∠ABC=∠D.求证:AB=ED.
【分析】根据全等三角形的判定与性质即可求出答案.
解:∵AC∥BE,
∴∠C=∠EBD,
在△ABC与△EDB中,
,
∴△ABC≌△EDB(AAS),
∴AB=ED.
19.如图,△ABC中,已知点A(﹣1,4),B(﹣2,2),C(1,1).
(1)作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)写出点A1,B1,C1的坐标.
【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可.
(2)根据点的位置写出坐标即可.
解:(1)如图,△A1B1C1即为所求作.
(2)点A1,B1,C1的坐标分别为(1,﹣1),(﹣2,﹣2),(﹣1,﹣4).
20.如图,在△ABC中,∠B=60°,过点C作CD∥AB,若∠ACD=60°,求证:△ABC是等边三角形.
【分析】根据两种方法进行证明三角形ABC是等边三角形即可.
【解答】证明:证法一:∵CD∥AB,
∴∠A=∠ACD=60°,
∵∠B=60°,
在△ABC中,
∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=60°,
∴∠A=∠B=∠ACB.
∴△ABC是等边三角形;
证法二:∵CD∥AB,
∴∠B+∠BCD=180°.
∵∠B=60°,
∴∠BCD=120°.
∴∠ACB=∠BCD﹣∠ACD=60°
在△ABC中,
∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=60°
∴∠A=∠B=∠ACB.
∴△ABC是等边三角形.
四、解答题(本题共3小题,其中21题9分,22、23题各10分,共29分
21.如图,AD是△ACE的角平分线,BA=BC,BD∥AE.
求证:∠C=∠E.
【分析】根据平行线的性质得到∠ADB=∠DAE,∠BDC=∠E,即可得到∠BAD=∠ADB,根据等角对等边得到AB=BD,进而得到BC=BD,从而证得∠C=∠BDC=∠E.
【解答】证明:∵AD是△ACE的角平分线,
∴∠DAC=∠DAE,
∵BD∥AE.
∴∠ADB=∠DAE,∠BDC=∠E,
∴∠BAD=∠ADB,
∴AB=BD,
∵BA=BC,
∴BC=BD,
∴∠C=∠BDC,
∴∠C=∠E.
22.如图,△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,且AD=BD=BC,求∠A的度数.
【分析】首先设∠A=x°,然后由等腰三角形的性质,求得∠ABC=∠C=2x°,然后由三角形的内角和定理,得到方程:x+2x+2x=180,解此方程即可求得答案.
解:设∠A=x°,
∵AD=BD,
∴∠ABD=∠A=x°,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°,
∵BD=BC,
∴∠C=∠BDC=2x°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=2x°,
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180,
解得:x=36,
∴∠A=36°.
23.小轩计算一道整式乘法的题:(2x+m)(5x﹣4),由于小轩将第一个多项式中的“+m”抄成“﹣m”,得到的结果为10x2﹣33x+20.
(1)求m的值;
(2)请计算出这道题的正确结果.
【分析】(1)根据错误的符号进行计算,即可得出m的值;
(2)将m的值代入正确的式子进行计算即可.
解:(1)由题知:(2x﹣m)(5x﹣4)
=10x2﹣8x﹣5mx+4m
=10x2﹣(8+5m)x+4m
=10x2﹣33x+20,
所以8+5m=33或4m=20,
解得:m=5.
故m的值为5;
(2)(2x+5)(5x﹣4)
=10x2﹣8x+25x﹣20
=10x2+17x﹣20.
五、解答题(本题共3小题,其中24、25题各11分,26题12分,共34分)
24.长方形的长为a厘米,宽为b厘米,其中a>b>1,如果将原长方形的长增加3厘米,宽减少1厘米,得到的新长方形面积记为S1;如果将原长方形的长和宽各增加1厘米,得到的新长方形面积记为S2.
(1)试比较S1与S2的大小,并说明理由;
(2)如果S1=2S2﹣10,求将原长方形的长减少1,宽增加3厘米后得到的新长方形面积.【分析】(1)根据多项式乘多项式,分别计算出S1,S2,作差即可;
(2)根据S1=2S2﹣10,得到ab+3a﹣b﹣5=0,从而求得新长方形的面积.
解:(1)S1=(a+3)(b﹣1)=ab﹣a+3b﹣3,
S2=(a+1)(b+1)=ab+a+b+1,
S1﹣S2=(ab﹣a+3b﹣3)﹣(ab+a+b+1)
=ab﹣a+3b﹣3﹣ab﹣a﹣b﹣1
=﹣2a+2b﹣4
=﹣2(a﹣b)﹣4,
∵a>b>1,且a、b为正整数,
∴a﹣b>0,
∴﹣2(a﹣b)﹣4<0,
∴S1<S2;
(2)∵S1=2S2﹣10,
∴ab﹣a+3b﹣3=2(ab+a+b+1)﹣10,
∴ab﹣a+3b﹣3=2ab+2a+2b+2﹣10,
∴ab+3a﹣b﹣5=0,
∴新长方形的面积=(a﹣1)(b+3)
=ab+3a﹣b﹣3
=5﹣3
=2.
25.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC=AD,过点A作AE⊥BC,垂足为E,且AE=BE.连接BD,交AE于点F.
(1)探究∠CAE与∠DAE的数量关系,并证明;
(2)探究线段AF,CE,FE的数量关系,并证明你的结论.
【分析】(1)设∠CAE=α,由等腰直角三角形的性质得∠EAB=∠EBA=45°,再由平行线的性质得∠DCA=∠CAB=45°+α,然后由等腰三角形的性质得∠ACD=∠ADC=45°+α,则∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠ADC=90°﹣2α,得∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°﹣α,即可得出结论;
(2)延长DC、AE交于点G,连接BG,证△CEA≌△GEB(SAS),得AC=BG=AD,∠ACE=∠BGE,∠CAE=∠GBE,再证四边形ABGD是平行四边形,得AF=GF,进而得出结论.
解:(1)∠CAE+∠DAE=90°,理由如下:
设∠CAE=α,
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=90°,
∵AE=BE,
∴∠EAB=∠EBA=45°,
∵AB∥CD,
∴∠DCA=∠CAB=∠EAB+∠CAE=45°+α,
∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC=45°+α,
∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠ADC=90°﹣2α,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°﹣α,
∴∠CAE+∠DAE=90°;
(2)AF=EF+CE,理由如下:
延长DC、AE交于点G,连接BG,
∵AB∥CD,
∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠GCE=45°,
∴CE=EG,
在△CEA和△GEB中,
,
∴△CEA≌△GEB(SAS),
∴AC=BG=AD,∠ACE=∠BGE,∠CAE=∠GBE,
∵∠GEB=90°,
∴∠AGB+∠GBE=90°,
由(1)得:∠CAE+∠DAE=90°,
∴∠DAE=∠AGB,
∴AD∥BG,
∵AB∥CD,
∴四边形ABGD是平行四边形,
∴AF=GF,
∵GF=EF+GE=EF+CE,
∴AF=EF+CE.
26.如图,在△ABC中,AB>AC,∠ABC=45°,点F是射线AB上一点,CA=CF,过点A作AE⊥FC,垂足为E,AE与BC的延长线相交于点D.
(1)求证:AC=AD;
(2)过点D作DH∥AB,过点C作CH⊥DH,垂足为H,探究BF与DH的数量关系,并证明.
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠F=∠BAC,根据垂直的定义得到∠AEC=90°,推出∠ACE=2∠F,得到∠ACD=∠ADC,于是得到AC=AD;
(2)连接AH,过D⊥DH于G,根据平行线的性质得到∠ABC=∠CDH=45°,根据垂直的定义得到∠CHD=90°,求得CH=HD,根据全等三角形的性质得到∠DAH=∠CAH=CAD,∠ADH=∠CHA=45°,DG=BF,于是得到结论.
【解答】(1)证明:∵CA=CF,
∴∠F=∠BAC,
∵∠ABC=45°,
∴∠BCF=45°﹣∠F=∠ECD,
∵AE⊥CF,
∴∠AEC=90°,
∴∠ADC=90°﹣∠ECD=45°+∠F,∠FAE=90°﹣∠F,
∴∠CAD=90°﹣2∠F,
∴∠ACE=2∠F,
∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=45°+∠F,
∴∠ACD=∠ADC,
∴AC=AD;
(2)解:连接AH,过D作DG⊥DH于G,
∵DH∥AB,
∴∠ABC=∠CDH=45°,
∵CH⊥DH,
∴∠CHD=90°,
∴∠HCD=∠HDC=45°,
∴CH=HD,
在△ACH与△ADH中,
,
∴△ACH≌△ADH(SSS),
∴∠DAH=∠CAH=∴∠DAH=∠BCF,
∴∠DGH=90°﹣∠GHD=45°=∠B,
∴∠AGD=∠FBC,DG=DH,
在△BCF与△GAD中,
,
∴△BCF≌△GAD(AAS),
∴DG=BF,
∴BF=DH.
CAD,∠ADH=∠CHA=45°,
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