方差的计算公式

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2024年3月8日发(作者：)

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学科：数学

教学内容：第十四章复习 统计初步

【单元知识总结】

全章的主要内容及其有关知识的相互联系如图所表示：

1．总体和样本

在统计中，我们把所要_____的全体叫做总体．其中每一个考查对象叫做个体．

从总体中抽取的一部分_____叫总体的一个样本；样本中个体的_____叫做样本容量．

2．平均数

总体中所有个体的_______叫做总体平均数，样本中所有个体的_______叫做样本平均数．由于总体中数据的个数较多，通常我们用样本平均数去估计总体平均数．一般地，样本容量越大，这种估计就越精确．

平均数是反映样本（或一组数据）和总体的_______的特征数，平均数反映这组数据的集中趋势．

平均数的计算公式如下：

1（1）n个数据x1，x2，…，xn，平均数x＝n（x1＋x2＋…＋xn）；

（2）加权平均数：如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，……，xk出现fk次（这1里f1＋f2＋…＋fk＝n），则x＝n（x1f1＋x2f2＋…＋xkfk）；

（3）平均数的简化公式：当一组数据x1，x2，…，xn中的各个数值较大，并且

都与常数a接近时，可将它们同时减去a．得到一组新数据x1′，x2′，…，xn′，则有x1＝x1′＋a，x2＝x2′＋a，…，xn＝xn′＋a，这里有x＝x＋a．

3．方差

在一组数据x1，x2，…，xn中，各个数据与它们的_____叫做这组数据的方差（记作S2）．方差的计算公式如下：

1（1）S2＝n［（x1－x）2＋（x22－x）2＋…＋（xn－x）］；

1（2）S2＝n［（x22221＋x2＋…＋xn）－nx］

（3）当一组数据x1，x2，…，xn中的各个数据的值较大，并且都与常数a接近时，可将它们同时减去a得到一组新数据x21′，x2′，…，xn′，则原数据的方差等于新数据的方差．S＝（S′）2

即若x1′＝x1－a，x2′＝x2－a，…，xn′＝xn－a，则

1S2＝n［（x21′＋x′22＋…＋xn′2）－nx2］

4．标准差

方差（S2）的_____叫做标准差（S）．标准差的计算公式如下：

1S＝n[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]

5．中位数与众数

反映一组数据集中趋势的量除了平均数外还有中位数和众数．

将一组数据按大小依次排列，把处在_____叫做这组数据的中位数．如果数据的个数为偶数，中位数就是处在最中间位置上_____．

在一组数据中，出现_____的数据叫做这组数据的众数．

6．频率分布

（1）基本概念

分组：将一组数据按照统一的标准分成若干组称为分组．

频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数，各小组频数之和，等于_____．

频率：每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和_______．

频率分布表：将这组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫频率分布表．

频率分布直方图：将频率分布表中的结果绘成的，以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图叫做频率分布直方图．图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距；每个小长方形的面积等于该组的频率．所有小长方形面积之和等于各组频率之和，等于1．

样本的频率分布反映样本中各组数据的个数分别占样本容量n的比例的大小；总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小．一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布．

（2）研究频率分布的方法步骤．

得到一组数据的频率分布的方法，一般是先整理数据，后画频率分布直方图，其步骤是

①计算_____________________________________________________；

②决定_____________________________________________________；

③决定_____________________________________________________；

④列_______________________________________________________；

⑤画_______________________________________________________．

[例1]为了考查一块麦田里小麦植株的高度，从中抽取了10株．测得各株的高度如下：（单位： cm）

83 83 86 84 86 84 83 86 82 85

（1）在这个问题中，总体、个体、样本和样本容量各指什么

（2）计算样本平均数．

（1）解：总体：这块麦田株高的全体；

个体：每株小麦的高度；

样本：所取10株小麦的高度；样本容量：10．

11（2）解法一：x＝10（83＋83＋86＋84＋86＋84＋83＋86＋82＋85）＝10×842＝84.2．即所抽取的10株小麦平均高度是84.2 cm．

解法二：∵这组数据都在85左右波动，取a＝85，将上面各数据同时减去85，得到一组新数据：1 －2 －1 1 －1 －2 1 －3 0 －2，这组数据的平均数为：

1x＝10（1－2－1＋1－1－2＋1－3＋0）＝－0.8

所以所求的平均数为x＝x＋a＝84.2；即所抽取的10株小麦平均高度是84.2 cm．

说明：（1）要理解总体的含义．本题所考查的对象是小麦株高的全体，而不是所有麦株的全体．因此总体是这块麦田小麦株高的全体．

（2）计算平均数要先分析所给数据的特点，并采用较为简单的计算方法．如本例的解法二．

[例2]为了了解某中学初中三年级175名男学生的身高情况，从中抽测了50名男生的身高，下面是数据整理与计算的一部分：

（1）在这个问题中，总体和样本各指什么？

（2）填写频率分布表中未完成的部分．

（3）根据数据整理与计算回答下列问题：

①该校初三年级男生身高在155.5～159.5 （ cm）范围内的人数约为多少？占多大比例．②估计该校初三年级男学生的平均身高．

解：（1）总体是指某中学初中三年级175名男学生的身高的全体；所抽取的50名男学生的身高是一个样本．

（2）第一列：163.5～167.5；第三列：4；第四列：0.30，1.00．

（3）①该校初中三年级男学生身高在155.5～159.5（ cm）范围内的人数约为14人，占8%．

②根据样本平均数可以估计，该校初中三年级男学生的平均身高约为164 cm．

说明：运用统计思想解决实际问题，要对统计思想有正确的认识，弄懂总体、个体、样本、样本容量等概念，及用样本估计总体的基本思想，并能结合实际需要进行简单的数据整理，解答时要注意：（3）①中问的是该校初中三年级男学生身高在此范围内的人数，而不是样本中的人数；在（3）②中，语言表达要准确，应该是用样本的平均数去估计总体平均数．

图14—4

[例3]育才中学为方便学生中午在校就餐，与某饮食服务公司联系为学生供应价格不等的六种盒饭（每人只限一份）．图14—4是某一天销售情况统计表，条形框上的百分数是销售的该种盒饭占总销售量的百分数．若这一天销售了150份盒饭．

（1）试求出这一天学生购买盒饭所付饭费的平均数和中位数；

（2）若饮食服务公司加工各种盒饭的成本如表二所示，这一天的销售中，饮食服务公司共盈利多少元？

单价2 3 4 5 6 7

（元）

成本1.8 2.4 3 3.8 4.2 4.5

（元）

解：（1）将各百分数乘以150，得单价为2～7元，盒饭的份数分别为：12，27，42，39，21，9．

饭费的平均数为x．

21232744253962179x＝150＝4.38（元）

由于单价为5元、6元、7元的盒饭的份数分别为39，21，9，合计为69份，单价为4元以下的盒饭的份数为12＋27＝39（份）．所以学生购买盒饭所付饭费的中位数为4（元）．

（2）服务公司的利润：

（2－1.8）×12＋（3－2.4）×27＋（4－3）×42＋（5－3.8）×39＋（6－4.2）×21＋（7－4.5）×9＝2.4＋16.2＋42＋46.8＋37.8＋22.5＝167.7（元）．

【单元达纲训练】

1．选择题

（1）若x1＋x2＋…＋x10＝－10，则x1＋a，x2＋a，…，x10＋a的平均数为（ ）

A．－1－a

B．－1＋a

C．－1＋10a

D．－10＋a

（2）从鱼塘捕得同时放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是：

1.5，1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8（单位：千克）依此估计这240尾鱼的

总质量大约是（ ）

A．300千克 B．360千克

C．36千克 D．30千克

（3）样本：8，8，9，10，12，12，12，13的中位数和众数分别是（ ）

A．11，3 B．10，12

C．12，12 D．11，12

（4）一名射击运动员连续射靶8次，命中的环数如下：8，9，10，9，8，7，10，8这名运动员射击环数的众数与中位数分别是（ ）

A．3与8 B．8与8.5

C．8.5与9 D．8与9

（5）10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是：45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．设这些零件数的平均数为a，众数为b，中位数为c．那么（ ）

A．a＜b＜c

B．b＜c＜a

C．b＜a＜c

D．a＜c＜b

（6）下列说法中，错误的是（ ）

A．在统计里，把所有要考察对象的全体叫做总体

B．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势

C．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大

D．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据

（7）给出两组数据：

甲组：20，21，23，24，26；乙组：100，101，103，104，106．

那么下列结论正确的是（ ）

A．S22 2甲＞S乙B．S甲＜S2乙

C．S2

甲＝S2

乙D．S甲＞S乙

（8）下列说法中，正确的个数是（ ）

①数据2，4，6，8的中位数是4、6；

②数据1，2，2，3，4，4的众数是2、4；

③一组数据的平均数、中位数、众数有可能是同一个数据；

④在50个数据的频率分布表中，若分五组，中间一组的频数是15，则中间一组的频率是0.30．

A．1 B．2

C．3 D．4

（9）某中学数学教研组有25名教师，将他们的年龄分成3组，在38～45（岁）组内有8名教师，那么这个小组的频率是（ ）

A．0.32 B．0.121

C．0.24 D．0.38

（10）已知a、b、c三数的平均数为4，a、b、c、d四个数的平均数是5，则d的值为（ ）

A．4 B．8

C．12 D．20

2．填空题

（1）2，3，－2，－1，2，0，1，2，－1这组数据的众数是_____，中位数是_____．

（2）样本1，2，3，m，5的平均数x＝3，则m＝_____，方差S2＝_____．

（3）某次考试5名学生A、B、C、D、E平均得分62分，若学生A除外，其余学生的平均得分是60分，那么学生A得分是_____分．

1（4）一样本方差的计算公式是S2＝8［（x1－2）2＋（x2－2）2＋…＋（x8－2）2］．

它的容量是_____，数据的平均数是_____，样本的平方和是80时，标准差是_____．

（5）在绘制频率分布直方图时，若选用的组距为3，那么频率为0.45的小组对应的小长方形的高应为_____．

（6）在对50个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和等于_____，各组的频率之和等于_____．

（7）如果一个有40个数据样本的平均数是5，标准差为3，则这个样本数据的平方和为_____．

（8）已知样本2.8，4.5，5.6，3.9，1.7的方差是1.82，则样本52.8，54.5，55.6，53.9，51.7的方差是_____．

3．某乡镇外出务工人员共有40名，为了了解他们在某一个月内的收入情况，随意抽取的10名务工人员在一个月内的收入如下（单位：元）：

450 420 500 450 500 600 500 480 480 500

（1）求这10名务工人员在这一个月内收入的众数及中位数；

（2）求这10名务工人员在这一个月收入的平均数，并根据结果估计该乡镇所有外出务工人员在这个月内的总收入约是多少？

4．甲、乙两名学生期末六科考试成绩如下表：

政治 语文 外语 数学 物理 化学

甲 88 84 91 96 76 81

乙 83 95 89 93 89 67

（1）求甲、乙二人的各科学习成绩的平均数；

（2）求甲、乙两组数据的方差和标准差；

（3）比较两名学生谁的学习成绩比较均衡．

5．一组数2，4，6，a，b的平均数为10．

（1）求a、b的平均数；

（2）求4a＋7，4b＋10的平均数．

6．有10个样本数据，2出现过4次，2.5出现过4次，3出现过2次．求样本平均数和方差．

7．某厂三个车间，第一车间80人，平均每人日产值800元，第二车间50人，平均每人日产值1000元；第三车间20人，平均每人日产值600元，求全厂工人的平均日产值．

8．如图14—5，是学校教师的年龄的频率分布直方图．根据图中提供的信息，回答下列问题：

图14—5

（1）该单位教师共有多少人？

（2）不小于38但小于44岁的教师人数占职工总人数的百分比是多少？

（3）如果42岁的教师有4人，那么年龄在42岁以上的职工有几人？

9．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日．评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制频率分布直方图如图14—6，已知从左至右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1．第三组的频数为12，请回答下列问题：

图14—6

（1）本次活动共有多少件作品参加评比？

（2）哪组上交的作品数量最多？有多少件？

（3）经评委评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖．问这两组哪组获奖率较高？

参考答案

【单元知识归纳】

1．考察对象，个体，数目．

2．平均数，平均数，平均．

3．平均数的差的平方的平均数．

4．算术平方根

5．最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）；两个数的平均数次数最多

6．（1）数据总数，为1．

（2）①最大值与最小值的差；

②组距和组数；

③分点；

④频率分布表；

⑤频率分布直方图．

【单元达纲训练】

1．（1）B （2）B （3）D （4）B （5）D （6）D （7）C （8）C （9）A （10）B

2．（1）2，1；（2）4，2；（3）70；（4）8，2，6；（5）0.15；（6）50，1；（7）1120；（8）1.82

3．（1）500，490；（2）488（元），19520（元）．

4．（1）x甲＝86，x乙＝86；（2）S2甲＝43，S甲≈6.56，S2乙＝86.33，（3）甲的学习成绩比较均衡．

5．（1）19；（2）84.5．

6．x＝2.4，S2＝0.14．

7．840（元）．

8．（1）该单位共有职工50人；

（2）38～44岁之间的教师人数占教师总数的60%；

（3）年龄在42岁以上的职工有15人．

49．（1）23464142015．

1∴12÷5＝60（件）．

答：本次活动共有60件作品参加评比．

6（2）60×20＝18（件）．

答：第四组上交的作品数量最多，有18件．

105（3）第四组获奖率为189，

26第六组获奖率为39．

答：第六组获奖率较高．

S乙≈9.29；

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