快速求幂取模

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快速求幂取模

公式求幂→二分求幂→快速求幂→快速求幂取模
等不急的可以直接下拉到最后看快速幂取模。

直接用C语言的库函数pow()（别忘了它的头文件#include<math.h>），似乎很简单，但是它的时间复杂度高达O(n)。
显然，这很容易超时。
于是有了下面的二分求幂（时间复杂度O(lgn)）

二分求幂的原理可以用下面这张图表示

用递归来实现，虽然代码有点长，但是很好理解

int pow(int a,int n)//返回值是a的n次方
{if(n==0)//递归终止条件return 1;if(n==1)return a;int result=pow(a,n/2);//二分递归result=result*result;//这部分奇数偶数都一样if(n%2==1)//如果n是奇数，就要多乘一次result=result*a;return result;
}

用非递归，更加简洁

int pow(int a,int n)//返回值是a的n次方
{int result=1;while(n!=0){if(n%2==1)//如果n是奇数result=result*a;//就要多乘一次a=a*a;n=n/2;//二分}return result;
}

快速幂顾名思义比二分幂又快一些，
快速幂借助了强大的位运算，时间复杂度达到O(log₂N)。
位运算.htm
原理其实不难理解，用的还是小学生的公式。
例如 求a的11次方
11的二进制是1011
11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1
因此，我们将a¹¹转化为算
用非递归的代码实现

int pow(int a,int n)//返回值是a的n次方
{int result=1,flag=a;while(n!=0){if(n&1)//如果n是奇数，即n的二进制最末位为1时result=result*flag;flag=flag*flag;n=n>>1;//n的二进制右移一位，即n/2}return result;
}

当然还能用递归来实现，但是太复杂，我没学会…

刷题中让直接求幂的不多，求幂后取模的却不少，毕竟求幂结果太大了。
水平所限，只会用二分幂取模，时间复杂度与二分幂一样O(lgn)。
基本可以在各种比赛中顺利通过，也是目前比较常用的方法

原理同样很简单，都是小学学过的：积的取余等于取余的积取余
接下来用代码实现

int pow(int a,int n,int b)//返回值是a的n次方对b取余后的值
{int result=1;a=a%b;//积的取余等于取余的积取余while(n>0){if(n%2==1)result=result*a%b;//n是奇数的话就要多乘一次，原理和前面的二分求幂一样n=n/2;//二分a=a*a%b;//积的取余等于取余的积取余}return result;
}

影响计算机效率的是运算次数，而不是运算结果。
所以前面几个算法都是通过增大运算结果，减少运算次数，提高计算机效率。