极限与下极限"/>
上极限与下极限
目录
一、前言
二、引入上极限与下极限的原因
三、上极限与下极限的两种定义方式
(一) 对方式一做具体说明
1.相关定义
2.定理证明
(二) 对方式二做具体说明
1.相关定义
2.定理证明
四、上极限与下极限的性质
五、上极限和下极限的运算
六、一些思考
一、前言
我们意欲通过上极限与下极限的引入，来探索子列构造在相关定理证明中的应用。
二、引入上极限与下极限的原因
研究级数的敛散性常常需要借助于某些数列，但这些数列本身却不一定收敛，因而有必要引进比“极限存在”稍弱一些、并在一定程度上反映其变化规律的新概念.
Bolzano-Weierstrass定理告诉我们，有界数列中必有收敛子列.这启示我们，对不存在极限的数列，或许可以用它的子列的极限情况来刻画它本身的变化情况.
三、上极限与下极限的两种定义方式
方式一：
方式二：
(一) 对方式一做具体说明
1.相关定义
极限点：在有界数列 中，若存在它的一个子列使得 ，则称为数列的极限点.
显然， “为数列的极限点”也可以等价地表述为：“对于任意给定的,存在中的无穷多个项属于的邻域”.
是的极限点
上极限： 的最大值称为数列的上极限，记为；
下极限： 的最小值称为数列的下极限，记为.
2.定理证明
显然是非空的有界集合，因此，的上确界和下确界存在.
定理：的上确界和下确界均属于，即，.
证 由可知，存在 使得 .
取.
因为是的极限点，所以在中有的无穷多个项，取;
因为是的极限点，所以在中有的无穷多个项，取;
……
因为是的极限点，所以在中有的无穷多个项，取
……
这么一直做下去，便得到的子列,满足,
于是有,
是的极限点，也就是说，
同理可证.
(二) 对方式二做具体说明
1.相关定义
极限点：在有界数列 中，若存在它的一个子列使得 ，则称为数列的极限点.
设是一个有界数列，令
，,
则是单调增加有上界的数列，是单调减少有下界的数列，因此数列与都收敛.
记
, .
2.定理证明
定理：是 的最大极限点，是 的最大极限点.
证 首先证明，的任意一个极限点满足.
设，则对一切，成立,(从通项入手)
由,与，得到.
其次证明，存在的子列与，使得，.
取
对，由 , ;
对，由 , ;
……
对,由,
……
令，由数列极限的夹逼性，得到
同理可证存在子列，使得
过程分析：“首先证明”部分，证的是“如果是极限点，那么为max” ，
“其次证明”部分，证的是“是极限点”.
四、上极限与下极限的性质
为了以后讨论上下极限的运算问题的方便，先给出一个有用的结论。
定理：设 是有界数列.则
（1）的充分必要条件是：对任意给定的
（i）存在正整数，使得对一切成立；
（ii）中有无穷多项，满足
（2）的充分必要条件是：对任意给定的
（i）存在正整数，使得对一切成立；
（ii）中有无穷多项，满足
五、上极限和下极限的运算
上极限与下极限的运算与后续一般函数的函数项级数收敛域的计算有关，下面我们来介绍有关上下极限的运算规律。
定理：设 是两数列，则
（1）
（2）若存在，则
要求上述诸式的右端不是待定型。
六、一些思考
题给条件有“上下确界”时，构造子列,利用无限逼近的原理。
更多推荐
上极限与下极限
发布评论