希尔排序、快速排序、归并排序的实现分析以及时间复杂度

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希尔排序、快速排序、归并排序的实现分析以及时间复杂度

高级排序

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希尔排序

希尔排序是插入排序的一种，又称“缩小增量排序”，是插入排序算法的一种更高效的改进版本。

我在另一篇文章中说插入排序的时候，会有一个不太好的现象，如果已排序的分组元素为{2,5,7,9,10}，未排序的分组 元素为{1,8}，那么下一个待插入元素为1，我们需要拿着1从后往前，依次和10,9,7,5,2进行交换位置，才能完成真 正的插入，每次交换只能和相邻的元素交换位置。那如果我们要提高效率，直观的想法就是一次交换，能把1放到 更前面的位置，比如一次交换就能把1插到2和5之间，这样一次交换1就向前走了5个位置，可以减少交换的次数， 这样的需求如何实现呢？接下来我们来看看希尔排序的原理。

需求：

排序前：{9,1,2,5,7,4,8,6,3,5}

排序后：{1,2,3,4,5,5,6,7,8,9}

排序原理：

1. 选定一个增长量h，按照增长量h作为数据分组的依据，对数据进行分组；
2. 对分好组的每一组数据完成插入排序；
3. 减小增长量，最小减为1，重复第二步操作。

图示：

增长量h的确定：增长量h的值每一固定的规则，我们这里采用以下规则：

int h=1
while(h<5){
h=2h+1；//3,7
}
//循环结束后我们就可以确定h的最大值；
h的减小规则为：
h=h/2

测试代码：

public class ShellTest {public static void main(String[] args) {Integer[] integers = {7, 6, 5, 0, 4, 3, 120, 2, 1, 100, -100};Shell.sort(integers);System.out.println(Arrays.toString(integers));}
}

核心代码：

public class Shell {public static void sort(Comparable[] a) {//1.根据a的数组长度，确定增长量h的初始值int h = 1;while (h < a.length / 2) {h = 2 * h + 1;}// 16        //2.希尔排序    {4, 5, 6, 3, 2, 1,9,5,10,596,452,56,3,5,6,9}while (h >= 1) {//排序//2.1找到待插入的元素for (int i = h; i < a.length; i++) {//2.2把待插入的元素插入到有序数列中for (int j = i; j >= h; j -= h) {//待插入的元素是a[j],比较a[j]和a[j-h]if (greater(a[j - h], a[j])) {//交换元素exch(a, j - h, j);} else {//待插入元素已经找到了合适的位置,结束循环break;}}}//减小h的值h = h / 2;}}public static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {return v.compareTo(w) > 0;}public static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {Comparable temp;temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;}
}

希尔排序的时间复杂度分析：
这个确实有点难度，公认的时间复杂度为O (n^ 1.3)，具体就不展开说了，有会的兄弟可以留言已下。

我自己测试大数据量的时候，希尔排序的性能确实高于插入排序。

稳定性：
希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序 ,虽然一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以希尔排序是不稳定的。

快速排序

快速排序是对冒泡排序的一种改进。它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

需求：

排序前:{6, 1, 2, 7, 9, 3, 4, 5, 8}

排序后:{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

排序原理：

1. 首先设定一个分界值，通过该分界值将数组分成左右两部分；
2. 将大于或等于分界值的数据放到到数组右边，小于分界值的数据放到数组的左边。此时左边部分中各元素都小于 或等于分界值，而右边部分中各元素都大于或等于分界值；
3. 然后，左边和右边的数据可以独立排序。对于左侧的数组数据，又可以取一个分界值，将该部分数据分成左右两 部分，同样在左边放置较小值，右边放置较大值。右侧的数组数据也可以做类似处理。
4. 重复上述过程，可以看出，这是一个递归定义。通过递归将左侧部分排好序后，再递归排好右侧部分的顺序。当 左侧和右侧两个部分的数据排完序后，整个数组的排序也就完成了。

图示：

切分原理：

把一个数组切分成两个子数组的基本思想：

1. 找一个基准值，用两个指针分别指向数组的头部和尾部；
2. 先从尾部向头部开始搜索一个比基准值小的元素，搜索到即停止，并记录指针的位置；
3. 再从头部向尾部开始搜索一个比基准值大的元素，搜索到即停止，并记录指针的位置；
4. 交换当前左边指针位置和右边指针位置的元素；
5. 重复2,3,4步骤，直到左边指针的值大于右边指针的值停止。

图示：

测试代码：

public class Quick02Test {public static void main(String[] args) {Integer[] integers = {7, 6, 5, 0, 4, 3, 120, 2, 1, 100, -100};Quick02 quick02 = new Quick02();quick02.sort(integers, 0, integers.length - 1);for (Integer integer : integers) {System.out.println(integer);}}
}

核心代码：

public class Quick02 {public void sort(Comparable[] arr, int left, int right) {if (left >= right) {return;}int par = par(arr, left, right);sort(arr, left, par - 1);sort(arr, par + 1, right);}public int par(Comparable[] arr, int left, int right) {int hi = right + 1;int lo = left;Comparable temp = arr[left];while (true) {while (arr[--hi].compareTo(temp) > 0) {if (hi <= left) {break;}}while (temp.compareTo(arr[++lo]) > 0) {if (lo >= right) {break;}}if (lo >= hi) {break;} else {exch(arr, lo, hi);}}exch(arr, hi, left);return hi;}private void exch(Comparable[] arr, int hi, int left) {Comparable temp = arr[hi];arr[hi] = arr[left];arr[left] = temp;}
}

快速排序和归并排序的区别：

快速排序是另外一种分治的排序算法，它将一个数组分成两个子数组，将两部分独立的排序。快速排序和归并排序 是互补的：归并排序将数组分成两个子数组分别排序，并将有序的子数组归并从而将整个数组排序，而快速排序的 方式则是当两个数组都有序时，整个数组自然就有序了。在归并排序中，一个数组被等分为两半，归并调用发生在 处理整个数组之前，在快速排序中，切分数组的位置取决于数组的内容，递归调用发生在处理整个数组之后。

快速排序时间复杂度分析：

快速排序的一次切分从两头开始交替搜索，直到left和right重合，因此，一次切分算法的时间复杂度为O(n),但整个快速排序的时间复杂度和切分的次数相关。

最优情况：

每一次切分选择的基准数字刚好将当前序列等分。

最坏情况：

每一次切分选择的基准数字是当前序列中最大数或者最小数，这使得每次切分都会有一个子组，那么总 共就得切分n次，所以，最坏情况下，快速排序的时间复杂度为O(n^2);

平均情况：

每一次切分选择的基准数字不是最大值和最小值，也不是中值，这种情况我们也可以用数学归纳法证明，快速排序的时间复杂度为O(nlogn)。

稳定性：

快速排序需要一个基准值，在基准值的右侧找一个比基准值小的元素，在基准值的左侧找一个比基准值大的元素， 然后交换这两个元素，此时会破坏稳定性，所以快速排序是一种不稳定的算法。

归并排序

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子 序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序 表，称为二路归并。

需求：

排序前：

{8,4,5,7,1,3,6,2}

排序后：

{1,2,3,4,5,6,7,8}

排序原理：

1. 尽可能的一组数据拆分成两个元素相等的子组，并对每一个子组继续拆分，直到拆分后的每个子组的元素个数是 1为止。
2. 将相邻的两个子组进行合并成一个有序的大组；
3. 不断的重复步骤2，直到最终只有一个组为止。

图示：

归并原理：

测试代码：

public class Merge02Test {public static void main(String[] args) {Integer[] arr = {9, 8, 7, 6, 0, 5, 4, 0, -100};Merge02 merge02 = new Merge02();merge02.sort(arr);for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.println(arr[i]);}}
}

核心代码：

public class Merge02 {private static Comparable[] assist;public void sort(Comparable[] arr) {assist = new Comparable[arr.length];sort(arr, 0, arr.length - 1);}public void sort(Comparable[] arr, int lo, int hi) {if (lo >= hi) {return;}int mid = lo + (hi - lo) / 2;sort(arr, lo, mid);sort(arr, mid + 1, hi);merge(arr, lo, mid, hi);}public void merge(Comparable[] arr, int lo, int mid, int hi) {int i = lo;int p1 = lo;int p2 = mid + 1;while (p1 <= mid && p2 <= hi) {if (arr[p1].compareTo(arr[p2]) > 0) {assist[i++] = arr[p2++];} else {assist[i++] = arr[p1++];}}while (p1 <= mid) {assist[i++] = arr[p1++];}while (p2 <= hi) {assist[i++] = arr[p2++];}for (int index = lo; index <= hi; index++) {arr[index] = assist[index];}}
}

归并排序时间复杂度分析：

归并排序是分治思想的最典型的例子，上面的算法中，对a[lo…hi]进行排序，先将它分为a[lo…mid]和a[mid+1…hi] 两部分，分别通过递归调用将他们单独排序，最后将有序的子数组归并为最终的排序结果。该递归的出口在于如果 一个数组不能再被分为两个子数组，那么就会执行merge进行归并，在归并的时候判断元素的大小进行排序。

用树状图来描述归并，如果一个数组有8个元素，那么它将每次除以2找最小的子数组，共拆log8次，值为3，所以 树共有3层,那么自顶向下第k层有2^{k个子数组，每个数组的长度为2}(3-k)，归并最多需要2^(3-k)次比较。因此每层 的比较次数为 2^k * 2^(3-k)=23,那么3层总共为 32^3。 假设元素的个数为n，那么使用归并排序拆分的次数为log2(n),所以共log2(n)层，那么使用log2(n)替换上面32^3中 的3这个层数，最终得出的归并排序的时间复杂度为：log2(n)* 2^(log2(n))=log2(n)*n,根据大O推导法则，忽略底 数，最终归并排序的时间复杂度为O(nlogn);

归并排序的缺点：

需要申请额外的数组空间，导致空间复杂度提升，是典型的以空间换时间的操作。

稳定性：

归并排序在归并的过程中，只有 arr[i] < arr[i+1] 的时候才会交换位置，如果两个元素相等则不会交换位置，所以它 并不会破坏稳定性，归并排序是稳定的。