线性代数之仿射变换

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线性代数之仿射变换

仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.--维基百科

上面是解释不是那么好理解，举个简单的例子：

例如：你家的坐标在平面地图上是一个点，这个点的坐标是（0,0），在你家正前的有面旗，旗的坐标（100,0），这时一位农民伯伯在旗杆下栓了一头牛（民以食为天），栓牛的绳子长度3米时，这时想知道这头牛相对你家这个点能活动的坐标范围。
要接这个问题，用初等数学也可以解，但算起来会十分的麻烦，初等数学的常常是把X，Y的坐标独立起来计算。而使用线性代数就很好求解了。

解：这头的相对旗的移动角度是0-360°，我们先以旗为相对原点计算牛的可以移动的坐标
        升速速绳子长度;θ牛刚刚被栓上时的角度

    X =lcosθy

    Y =1SINθ

    牛现在还是动了，牛动的方向是从飞机上看地面逆时针转动β

x` = l cos（θ+β）= l（cosθcosβ-sinθsinβ）=xcosβ- ysinβw

y`= l sin（θ+β）= 1（cosθsinβ+sinθcosβ）=xsinβ+ycosβ
    
用行列式表达

    化简就是R（θ）[X，Y] =

    矩阵的乘法第一个行的每个元素依次乘以第二个矩阵对应列的元素。
    如果刻意不会请自行_ _百度
    
到现在为止旋转好了，现在问题来了，这个化简的确定了，如何将现有的坐标转换到你家所在的坐标系。
很简单，将旗杆的点平移到你家的点上，平移就非常简单了，就是简单的XY将上相应的系数

转换为矩阵

为什么变成三维矩阵了？为了方便计算，引入齐次坐标。

什么是齐次矩阵？用的n + 1维坐标表示Ñ维坐标。就是为了方便计算，可以这一任务，线性代数不是本事就存在的定量，而是为了计算的方便，人为规定一种简化计算的方法。

平移是3×3的矩阵，旋转是2×2矩阵，又没有办法把两者合并起来，一步计算到位，当然有，就是使用齐次坐标，把二维的旋转转换到3维，实际上所有的高维度在低维度上都是有投影的，这样，我们把二维的矩阵增加一个三维的单位矩阵，这样就有了

多么美妙的公式啊，以后计算一个点的放射变换在2维度平面直接代入上面公式就确定，这样牛的位置和范围也可以计算出来了

飞机上向下看的点很重要，上帝视角是在第三个维度上才能看到，至今没有发现外星人，也许正如“三体”中外星人在高维度上俯瞰三维空间的我们，那天看我们不爽就来个降维打击，扯远了。

飞机上看实际就是在XY以外的ž轴上看XY所在平面上的点的运动。

同理在有XY平面就有XZ，YZ平面，那他们的放射变换是如何的呢？

绕X轴逆时针旋转θ角：

绕ÿ轴逆时针旋转θ角

绕ž轴旋转角的旋转矩阵为： 

죽을래？平移如何加上去？

这里现在就是在三维空间上的仿射变换了，就得再加一个维度了

有点懒去隔壁偷了一张图片，还是注明一下吧

关于3D坐标变换的数学原理_Sonictl的博客-CSDN博客_三维坐标变换原理

隔壁写的那个机械臂坐标计算的例子非常好，3D坐标的转换本质上和二维平面的放射变换是相同的。

结尾就不写这头你家楼下的牛能活动的范围了，公式都给出来了，随便编个程序实现一下就可以了