【数学】

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【数学】

突然发现我这博客咋啥都开始写了呢。。。
上微积分课胡思乱想系列。。。

显然这个东西在数学上是没有定义的。
包括 −1 $-1$的 13 $\frac13$次方这样的东西，数学上的定义也挺模糊的
不过我们可以想想这东西应该怎么定义。。。

首先，从定义出发，一个数 a $a$的k$k$次方( k∈Z $k\in \mathbb{Z}$)如何定义？
k $k$个a$a$连乘。
因为乘法在 R $\mathbb R$上均有定义，所以 a $a$的正整数次方在R$\mathbb R$上均有定义。

接下来，一个数 a $a$的负k$k$次方( k∈Z $k\in \mathbb{Z}$)该如何定义？
根据 k>0 $k>0$时候的定义有 ak1∗ak2=ak1+k2 $a^{k_1}*a^{k_2}=a^{k_1+k_2}$，因此定义应该将这个性质延续下去，即 a−k∗ak+1=a−k+k+1=a $a^{-k}*a^{k+1}=a^{-k+k+1}=a$， a−k=aak+1=1ak $a^{-k}=\frac a{a^{k+1}}=\frac1{a^k}$
据此也有 a0=ak∗a−k=1 $a^0=a^k*a^{-k}=1$
1/0 $1/0$无定义，因此以上二者的定义域都是 a∈{x|x∈R,x≠0} $a\in \{x|x\in\mathbb R,x\neq0\}$

整数域已经做完了，下面我们该进入有理数域了。

一个数 a $a$的pq$\frac pq$次方等于多少？
和上面类似，根据整数时候的定义有 (ak1)k2=ak1k2 $(a^{k_1})^{k_2}=a^{k_1k_2}$，因此新的定义应该将这个性质延续下去，即 (ap/q)q=ap $(a^{p/q})^q=a^p$
即 ap/q $a^{p/q}$是 ap $a^p$的 q $q$次方根

什么是ap$a^p$的 q $q$次方根？
定义ap$a^p$的 q $q$次方根为方程xq=ap$x^q=a^p$的解
当 q $q$为奇数的时候这个方程在R$\mathbb R$上有唯一解，但 q $q$为偶数的时候，当ap≥0$a^p\geq0$时在 R $\mathbb R$上有两个解，当 ap $a^p$为负数的时候在 R $\mathbb R$上无解！
为了保护一些函数的优雅性质，当 ap≥0 $a^p\geq0$时我们定义了算数次方根为二者中非负的那个，至于 ap<0 $a^p<0$，我们不讨论了……
可是负数很可怜不是么？
比如 (−8)13 $(-8)^{\frac13}$按照定义在实数上是有定义的啊……
而且照着这定义来会出事……
比如根据定义， (−8)13 $(-8)^{\frac13}$是 x3=−8 $x^3=-8$在 R $\mathbb R$上的唯一解 −2 $-2$，可是 (−8)13=(−8)26 $(-8)^{\frac13}=(-8)^{\frac26}$是 x6=64 $x^6=64$的非负实数解，即 2 $2$……

这个问题我们放在后面讨论吧。

终于到了无理数了。
显然根据我们已有的运算，我们没什么办法把一个无理数次方的运算搞到有理数域去。

我们的第一想法是利用泰勒展开
设函数
f(x)=(x+1)α=10!+αx1!+α(α−1)x22!+α(α−1)(α−2)x33!+...$f(x)=(x+1)^\alpha=\frac1{0!}+\frac{\alpha x}{1!}+\frac{\alpha(\alpha-1)x^2}{2!}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)x^3}{3!}+...$
易证当 α $\alpha$为正无理数时这东西收敛当且仅当 x∈[−1,1] $x\in[-1,1]$

不过用这个方法我们可以知道正数的无理数次方的定义
以 2√ $\sqrt2$为例，假设我们想要知道 a2√(a>0) $a^\sqrt2(a>0)$的值
若 a∈(0,1] $a\in(0,1]$，直接将 x=a−1 $x=a-1$代入泰勒展开式，其极限即为 a2√ $a^\sqrt2$
若 a∈(1,+∞) $a\in(1,+\infty)$，将 x=1a−1 $x=\frac1a-1$代入泰勒展开式，其极限的倒数即为 a2√ $a^\sqrt2$
由此我们得到了实数域上正数的无理数次方的定义。

负数呢？尝试代入 x+1<0 $x+1<0$，即 x<−1 $x<-1$，不收敛，GG

……

……

……

实数域上能做的事情我们似乎都做完了，扩展到复数域上去吧。

根据欧拉定理，我们可以把一个正实数 a $a$写成a∗e2kπi$a*e^{2k\pi i}$，一个负实数 a $a$写成−a∗e(2k+1)πi$-a*e^{(2k+1)\pi i}$，0我们不讨论了
左侧部分是个正实数，正实数的任意实数次方在实数下都是有定义的，所以算完之后乘一下就行了，以下我们只考虑右侧部分，即 |a|=1 $|a|=1$

那么 (ekπi)α=ekαπi $(e^{k\pi i})^\alpha=e^{k\alpha\pi i}$，这个在 α∈R $\alpha\in\mathbb R$上均有定义，可是……做完了？

整数域似乎没什么问题，不过看看有理数，我们之前说算数次方根是取了非负的那个，可是现在是复数域……
什么是非负？

复数域没有非负的概念，也就是说我们只能把两个根无差别全都拎过来了。
用一个集合表示怎么样？

定义：一个实数 x $x$的α$\alpha$次方集合 Z(x,α)={α∗k|k∈Z,|x|ekπi=x} $Z(x,\alpha)=\{\alpha*k|k\in\mathbb Z,|x|e^{k\pi i}=x\}$
例如：
Z(1,1)={2k|k∈Z} $Z(1,1)=\{2k|k\in\mathbb Z\}$
Z(−1,1)={2k+1|k∈Z} $Z(-1,1)=\{2k+1|k\in\mathbb Z\}$
Z(1,2)={4k|k∈Z} $Z(1,2)=\{4k|k\in\mathbb Z\}$
Z(−1,2)={4k+2|k∈Z} $Z(-1,2)=\{4k+2|k\in\mathbb Z\}$