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数学 {n次方根,根号,平方根}

数学 {n次方根,根号,平方根}, @LOC_COUNTER=1;

平方根

定义

平方根: square root;
如果 y y y是 x x x的平方根, 则表明 y 2 = x y^2 = x y2=x;

相关术语

主平方根: principal square root;

如果 x > 0 x > 0 x>0, 记他的两个平方根为 a , b a,b a,b (均为实数, 且一正一负);
. 则 m a x ( a , b ) max(a,b) max(a,b)称为主平方根;
如果 x < 0 x < 0 x<0, 记他的两个平方根为 a i , b i ai,bi ai,bi ( a , b a,b a,b均为实数, 且 a , b a,b a,b一正一负);
. 令c = max(a,b), 则 c i ci ci称为主平方根;
如果 x = 0 x=0 x=0,他只有1个平方根 0 0 0, 也称为主平方根;

实数 x x x的主平方根, 记作 x \sqrt{x} x ​;
. 比如 4 4 4的主平方根 为 4 \sqrt{4} 4 ​ (另一个平方根是 − 2 -2 −2); − 4 -4 −4的主平方根为 − 4 \sqrt{-4} −4 ​ (另一个平方根是 − 2 i -2i −2i);

@DELIMITER

性质

如果 x = 0 x=0 x=0, 则他只有1个平方根 即 0 0 0; 否则, 他一定有2个不同的平方根;

@DELIMITER

借助根号, 任何实数 x x x的两个平方根 可记作 x , − x \sqrt{x}, -\sqrt{x} x ​,−x ​;

因此, x ≥ 0 x \geq 0 x≥0的两个平方根均为实数, 而 x < 0 x < 0 x<0的两个平方根均为虚数;

@DELIMITER

只要一个数学对象 定义了平方的概念, 那么就可以讨论平方根; 因为平方根的定义 就是根据平方来的;

错误

不要把{平方根, 根号}画等号;
. 比如, 4的平方根有{2, -2}, 而4的根号 一定是唯一的 为2;
. 比如, -4的平方根 是存在的 为复数, 而-4的根号 是不存在的;

准确的说, 平方根是个集合, 则根号是个{操作/函数};
. x x x的平方根 他有很多结果, 而根号 x x x 一定只有1个结果;

@DELIMITER

{根号, n次根号}

定义

根号 radical sign;

x n \sqrt[n]{x} nx ​ (其中 n ∈ N ∧ n ≥ 2 n \in N \land n \geq 2 n∈N∧n≥2) 表示 x x x的主n次方根; 称作: {n次根号 x x x};
. 当 n = 2 n=2 n=2时, x 2 = x \sqrt[2]{x} = \sqrt{x} 2x ​=x ​ 称作: {根号 x x x, 2次根号 x x x};

性质

n次根号 这个操作, 也是个函数;

虽然一个实数的n次方根 不仅一个, 但是主n次方根一定只有1个, 因此n次根号 (即主n次方根) 就表示1个数, 故n次根号 也是一个函数;

@DELIMITER

根号 x \sqrt{x} x ​这个函数:
. 当 x ≥ 0 x \geq 0 x≥0时, 其值为 ≥ 0 \geq 0 ≥0的实数;
. 当 x < 0 x < 0 x<0时, 其值为虚数;

错误

@DELIMITER

根号不可以直接抵消平方; MAKR: @LOC_0;

对于 x ∈ R x\in \mathbb R x∈R, 因为 x 2 ≥ 0 x^2 \geq 0 x2≥0 故他进行根号操作的结果, 但是 x 2 \sqrt{ x^2} x2 ​ 你不可以把他等价于 x x x;
. 比如, x < 0 x< 0 x<0时, 显然 x 2 \sqrt{ x^2} x2 ​的结果为 > 0 >0 >0的 ≠ x \neq x =x;
. 原因在于: 一个实数的平方根不仅一个 (反过来是, 多个 x x x值的平方 对应同一个值), 而根号操作 x \sqrt {x} x ​ 只取一个主平方根;

但 x 2 \sqrt{ x^2} x2 ​等价于 ∣ x ∣ |x| ∣x∣;

n次方根

定义

如果 a n = b a^n = b an=b ( n ∈ N ∧ n ≥ 2 n \in N \land n \geq 2 n∈N∧n≥2), 则称 a a a为b的 n次方根;

性质