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超硬核之傅里叶公式推导(上)

超硬核之傅里叶公式推导

• 1.三角函数系与正交性
• 2.周期(2pi)函数的傅里叶展开(三角形式)
• 3.找到周期函数傅里叶展开的系数
• 结语

• 前言:再学习数学推导之前,popcorn建议读者感性的先去理解一下傅里叶分析,可以参考我的文章
  天道好轮回,傅里叶分析
  既然是硬核文章,就不多BB了,直接进入正题.
  

1.三角函数系与正交性

• 首先,我们要引入一下三角函数系和正交性的概念

我们定义一个集合:

{0,1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,…}

• 以上就是我所说的三角函数系列

那什么是正交呢?

• 在三角函数系中任意两个函数在-Π到Π之间的积分为0
  ∫ − π π s i n n x c o s m x d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi}sin{nx}cosmxdx =0 ∫−ππ​sinnxcosmxdx=0

• 其中,m不等于n,若m=n

• 那么

∫ − π π s i n n x c o s m x d x = π \int_{-\pi}^{\pi}sin{nx}cosmxdx =\pi ∫−ππ​sinnxcosmxdx=π

• 注意,第二个积分不一定是sin和cos,也可以是sin,cos的所有组合

那么我们如何去理解正交性呢?
正交应该说是一个几何,或者说向量空间中的概念.
我们用向量来举例子:

• 如果我们有两个向量A,B正交(可以理解为两个向量垂直)
• A = (a1,a2,a3,…)
• B = (b1,b2,b3,…)
• 那么A` B = ai `bi 的求和 = 0
• (这里我懒了,不想用LATEX了-_-)
  在通俗点说就是两个垂直的向量做点积等于=0.
  如果把AB两个向量换为函数,那么就等同于上面定义的正交了.

2.周期(2pi)函数的傅里叶展开(三角形式)

• 教科书中定义了,如果周期函数满足迪尼赫雷条件,那么即可展开为傅里叶级数.
• 即若,T = 2pi , f(x) = f(x + 2pi), 有

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n c o s n x + ∑ n = 0 ∞ b n s i n n x f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_ncosnx+\sum_{n=0}^\infty b_nsinnx f(x)=n=0∑∞​an​cosnx+n=0∑∞​bn​sinnx

• 是不是跟书上的有一点不一样?,其实,只要我们令n= 1
  f ( x ) = a 1 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n x + b n s i n n x ) f(x) = a_1+\sum_{n=1}^\infty (a_ncosnx+ b_nsinnx) f(x)=a1​+n=1∑∞​(an​cosnx+bn​sinnx)

3.找到周期函数傅里叶展开的系数

接下来让我们来找一找an,bn吧!

• 这里就用到了我们前面介绍的正交性
  我们让f(x)左右两边同乘cosmx并且取积分,则有
  ∫ − π π f ( x ) c o s m x d x = ∫ − π π f ( x ) c o s m x d x \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosmx dx= \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosmx dx ∫−ππ​f(x)cosmxdx=∫−ππ​f(x)cosmxdx
  + ∫ − π π ∑ n = 1 ∞ a n c o s n c o s m x d x +\int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} a_ncosncosmx dx +∫−ππ​n=1∑∞​an​cosncosmxdx
  + ∫ − π π ∑ n = 1 ∞ b n s i n n x c o s m x d x +\int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}b_nsinnxcosmx dx +∫−ππ​n=1∑∞​bn​sinnxcosmxdx
  注意注意!!!
  等式右边的三个式子,由于正交性,我们只留下了第二项,也就是
  ∫ − π π ∑ n = 1 ∞ a n c o s n c o s m x d x \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} a_ncosncosmx dx ∫−ππ​n=1∑∞​an​cosncosmxdx
  只有它的n=m的时候,取值不为0,等于
  a n π a_n\pi an​π
  所以我们得出了
  a n = 1 / π ∫ − π π f ( x ) c o s n x d x an = 1 / \pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx an=1/π∫−ππ​f(x)cosnxdx
  同理,只需要对f(x)左右两边同×cosmx即可得出bn的结果为:
  b n = 1 / π ∫ − π π f ( x ) s i n n x d x bn = 1 / \pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx bn=1/π∫−ππ​f(x)sinnxdx

结语

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