【斜率优化】特别行动队

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【斜率优化】特别行动队

特别行动队
【问题描述】
你有一支由n名预备役士兵组成的部队，士兵从1到n编号，要将他们拆分
成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号
应该连续，即为形如(i,i + 1, …, i + k)的序列。
编号为i的士兵的初始战斗力为xi，一支特别行动队的初始战斗力x为队内
士兵初始战斗力之和，即x= xi + xi+1 + … + xi+k。
通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力x将按如下经验公
式修正为x'：x'= ax
2
+bx + c，其中a,b, c是已知的系数（a< 0）。
作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后
战斗力之和最大。试求出这个最大和。
例如，你有4名士兵，x1= 2, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4。经验公式中的参数为a= –1,
b= 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成3个特别行动队：第一队包含士兵
1和士兵2，第二队包含士兵3，第三队包含士兵4。特别行动队的初始战斗力分
别为4,3, 4，修正后的战斗力分别为4,1, 4。修正后的战斗力和为9，没有其它
方案能使修正后的战斗力和更大。
【输入格式】
输入由三行组成。第一行包含一个整数n，表示士兵的总数。第二行包含三

个整数a,b, c，经验公式中各项的系数。第三行包含n个用空格分隔的整数x1,

x2,…, xn，分别表示编号为1,2, …, n的士兵的初始战斗力。

【输出格式】
输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。
【样例输入】
4
-110 -20
2 2 3 4
【样例输出】
9
【数据范围】
20%的数据中，n≤ 1000；
50%的数据中，n≤ 10,000；
100%的数据中，1≤ n ≤ 1,000,000，–5≤ a ≤ –1，|b|≤ 10,000,000，|c|≤
10,000,000，1≤ x ≤ 100。

【题解】

用f[i]表示从1到i划分为若干组能取得的最大战斗力。

f[i]=max{f[j]+G(s[i]-s[j])}。（0<=j<i）

其中s[i]为1到i的战斗力之和，G(x)=A*x^2+B*x+C;直接动规O(n^2)，预计40~50分。

这种1D/1D的方程可以用斜率优化。

设有决策j,k。其中j为i的最优决策，k为除j外任意决策。

则f[j]+A*(s[i]-s[j])^2+B*(s[i]-s[j])+C>=f[k]+A*(s[i]-s[k])^2+B*(s[i]-s[k])+C

=>f[j]-f[k]+A*sj*sj-A*sk*sk-B*sj+B*sk>=2A*si*(sj-sk)

当j<k时，（f[j]-f[k]+A*sj*sj-A*sk*sk-B*sj+B*sk）/(sj-sk)<=2A*si

令H[j,k]=（f[j]-f[k]+A*sj*sj-A*sk*sk-B*sj+B*sk）/(s[j]-s[k])。

依据此函数与2A*s[i]的比较就可知两个决策的优劣。

然后维护一个决策值序列d，其中d1<d2<d3<……<dk。满足H[d1,d2]>=H[d2,d3]>=……>=H[dk-1,dk]。

每次在队首剔除H[dl,dl+1]>2*A*si的决策，直至H[dl,dl+1]恰好小于等于2A*si，此时的dl就是最优决策。

只要多做此类的题就可以了。

除法的效率极低，耗时为乘法的几十倍，建议将一切除法改为乘法。

代码照标程序打（没法，太菜了） 

#include <iostream>
#include <cstdio>using namespace std;const  int maxn=1000000+5;
long long f[maxn],s[maxn];
int q[maxn];
int n;
long long a,b,c;long long calc(int j,int k)
{return f[j]-f[k]+a*(s[j]*s[j]-s[k]*s[k])-b*(s[j]-s[k]);
}int main()
{freopen("commando.in","r",stdin);freopen("commando.out","w",stdout);scanf("%d\n",&n);scanf("%I64d %I64d %I64d",&a,&b,&c);for (int i=1;i<=n;++i){scanf("%d",&s[i]);s[i]+=s[i-1];}long long x;int y,l=0,r=0;for (int i=1;i<=n;++i){while (l<r&&calc(q[l],q[l+1])<=2*a*s[i]*(s[q[l]]-s[q[l+1]]))l++;y=q[l];x=s[i]-s[y];f[i]=f[y]+a*x*x+b*x+c;while (l<r&&calc(q[r-1],q[r])*(s[q[r]]-s[i])<=(s[q[r-1]]-s[q[r]])*calc(q[r],i))r--;q[++r]=i;}printf("%I64d",f[n]);return 0;
}