[APIO2010] 特别行动队

题目描述

　　你有一支由n名预备役士兵组成的部队，士兵从1到n编号，要将他们拆分成若干特别行动队调入战场。出于默契考虑，同一支特别行动队中队员的编号应该连续，即为形如（i，i+1，…，i+k）的序列。
　　编号为i的士兵的初始战斗力为xi，一支特别运动队的初始战斗力x为队内士兵初始战斗力之和，即x=（xi）+（xi+1）+…+（xi+k）。
　　通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力x将按如下经验公式修正为x’：x’=ax^2+bx+c，其中a，b，c是已知的系数（a<0）。
　　作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后战斗力之和最大。试求出这个最大和。
　　例如，你有4名士兵，x1=2,x2=2,x3=3,x4=4。经验公式中的参数为a=-1，b=10，c=-20。此时，最佳方案是将士兵组成3个特别行动队：第一队包含士兵1和士兵2，第二队包含士兵3，第三队包含士兵4。特别行动队的初始战斗力分别为4，3，4，修正后的战斗力分别为4，1，4。修正后的战斗力和为9，没有其它方案能使修正后的战斗力和更大。

输入格式

输入由三行组成。第一行包含一个整数n，表示士兵的总数。第二行包含三个整数a，b，c，经验公式中各项的系数。第三行包含n个用空格分隔的整数x1，x2，…，xn，分别表示编号为1，2，…，n的士兵的初始战斗力。

输出格式

输出一个整数，表示所有特别行动队修正战斗力之和的最大值。

样例数据

样例输入

4
-1 10 -20
2 2 3 4

样例输出

9

数据范围

20%的数据中，n<=1000;
50%的数据中，n<=10000;
100%的数据中，1<=n<=1000000,-5<=a<=-1,|b|<=10000000,|c|<=10000000,1<=xi<=100。

题目分析

被这题坑惨了。
容易写出动规方程
fi=max　fj+a(sumi−sumj)2+b(sumi−sumj)+c $f_i=max　f_j+a(sum_i-sum_j)^2+b(sum_i-sum_j)+c$
考虑斜率优化
化简为
fi−asum2i−bsumi−c=fj+asum2j−2asumisumj−bsumj $f_i-asum_i^2-bsum_i-c=f_j+asum_j^2-2asum_isum_j-bsum_j$
令 fj+asum2j−bsumj=y $f_j+asum_j^2-bsum_j =y$
sumi=k $sum_i=k$
2asumj=x $2asum_j=x$
因为k单调递增且为正，维护下凸包
当然也可以令 2asumi=k $2asum_i=k$ sumj=x $sum_j=x$
但因为a为负，所以k单调递减，维护上凸包

一定要看数据范围啊，a为负

源代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline const LL Get_Int() {LL num=0,bj=1;char x=getchar();while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-')bj=-1;x=getchar();}while(x>='0'&&x<='9') {num=num*10+x-'0';x=getchar();}return num*bj;
}
LL n,f[1000005],Cost[1000005],sum[1000005],Q[1000005],ans=0,Cut=0;
double Slope(int j,int k) {return (double)(f[j]-f[k])/(k-j);
}
int main() {cin>>n;for(int i=1; i<=n; i++)Cost[i]=Get_Int();for(int i=1; i<=n; i++)sum[i]=sum[i-1]+Get_Int();for(int i=1; i<n; i++)ans+=(sum[i]-sum[i-1])*(n-i);ans+=Cost[n];int Left=1,Right=1;Q[1]=n;for(int i=n-1; i>=1; i--) {while(Left<Right&&Slope(Q[Left],Q[Left+1])>=sum[i])Left++; //维护队首（删除非最优决策）int Front=Q[Left];f[i]=f[Front]+sum[i]*(Front-i)-Cost[i];Cut=max(Cut,f[i]);while(Left<Right&&Slope(Q[Right-1],Q[Right])<=Slope(Q[Right],i))Right--; //维护队尾（维护上凸包性质）Q[++Right]=i;}printf("%lld\n",ans-Cut);return 0;
}