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计算方法（五）函数插值

首先知道插值算法是用来图像缩放的。（图片放大，像素点增多，如何处理放大的更多像素点上的值）

1. 引入

1.1 最邻近插值算法

思路：新位置就照搬旁边的元素。

A是原图像，B是新图像（更大的），图像就是像素值的矩阵。

B中的一个值(B x _x x​,B y _y y​)怎么求：

A x _x x​=B x _x x​（A的列数 / B的列数）
A y _y y​=B y _y y​（A的行数 / B的行数）
如果结果有小数，那就四舍五入。

用(A x _x x​,A y _y y​)的值填入(B x _x x​,B y _y y​)

1.2 双线性插值算法

思路：在两个向量上分别进行一次线性插值。

我惊了老师ppt跟本没有这东西，看不看都行，不过挺简单的也不用背。

简单说一下吧，就是上面那种方法A x _x x​，A y _y y​的结果可能是小数，那么小数部分不要四舍五入。

因为正方形总面积是1，可以作为概率比例，用每个小方块的面积*对角的点在矩阵A的值。

2. 拉格朗日插值法

拉格朗日插值，这个视频一共就四分钟，看看之后再看这本书上讲的内容。

2.1 公式

通用

这尽量不要背，还是根据上面那个视频理解。

拉格朗日插值基函数：

拉格朗日多项式：

线性插值

也是上面那个公式，只不过线性就是只有两个点(n=1)而已：

抛物线插值

三个点(n=2)啦：

看一下例5.1和例5.2，比较容易理解的。

2.2 余项

通过上面那个视频我们可以知道，只有在 x i x_{i} xi​处，才有 L n ( x i ) L_{n}(x_i) Ln​(xi​)= f ( x i ) f(x_i) f(xi​)= y y y，其他位置， L n ( x i ) L_{n}(x_i) Ln​(xi​)都只能看作我们的估计值， L n ( x i ) L_{n}(x_i) Ln​(xi​)≠ f ( x i ) f(x_i) f(xi​)。

所以，插值余项 R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)= f ( x ) f(x) f(x)- L n ( x ) L_{n}(x) Ln​(x)表示在点x处产生的误差。

记住这个定理，其中拉格朗日和牛顿插值的余项 R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)都是这个：

3. 牛顿插值法

3.1 差商

记一下差商的计算方法：

一阶差商：

二阶：

通用：

这样，就可以求出来任意的差商了，差商计算路线如下：

但其实我们最终只用到斜线部分，其他只是用来辅助计算而已。零阶差商就是x对应的函数值。

3.2 牛顿插值

直接看最通用公式：

其中， N 0 ( x ) N^{}_{0}(x) N0​(x)= f ( x 0 ) f(x_{0}) f(x0​)

直接看一道例题，拉格朗日+牛顿全解决：
拉格朗日&牛顿

3.3 余项

同刚才

4.三次埃尔米特插值

这里需要会两种情况的分别两个解法，考试会对解法有要求。

首先说明， H 3 ( x ) H_3(x) H3​(x)就代表三次埃尔米特插值。

4.1 齐次埃尔米特插值

齐次是什么意思呢？每一个x对应一个y，并且还一定对应一个y ′ ' ′(这里将这个值设为字母m)。

在三次、齐次埃尔米特插值时，只有两个x值。

构造三次埃尔米特插值 H 3 ( x ) H_3(x) H3​(x)，使 H ( x k ) H(x_k) H(xk​)= y k y_k yk​, H ′ ( x k ) H'(x_k) H′(xk​)= m k m_k mk​（k=0,1）

4.1.1 解法一、结合拉格朗日插值

我把这里的讲解分为三部分：

第一部分：如何构建

基于插值基函数（本章2.1）， H 3 ( x ) H_3(x) H3​(x)= α 0 ( x ) α_0(x) α0​(x) y 0 y_0 y0​+ α 1 ( x ) α_1(x) α1​(x) y 1 y_1 y1​+ β 0 ( x ) β_0(x) β0​(x) m 0 m_0 m0​+ β 1 ( x ) β_1(x) β1​(x) m 1 m_1 m1​

还记得拉格朗日插值的那个视频吗，把插值基函数称作开关，我们现在就要用开关这个思想， α 0 ( x ) α_0(x) α0​(x)、 α 1 ( x ) α_1(x) α1​(x)、 β 0 ( x ) β_0(x) β0​(x)、 β 1 ( x ) β_1(x) β1​(x)就是这个公式的四个开关，我们看公式：

可以求得，这样设计之后， H 3 ( x 0 ) H_3(x_0) H3​(x0​)= y 0 y_0 y0​， H 3 ′ ( x 0 ) H'_3(x_0) H3′​(x0​)= m 0 m_0 m0​， H 3 ( x 1 ) H_3(x_1) H3​(x1​)= y 1 y_1 y1​， H 3 ′ ( x 0 ) H'_3(x_0) H3′​(x0​)= m 1 m_1 m1​
结果皆大欢喜，但这是如何设计来的呢？

首先，在不求导时， H 3 ( x ) H_3(x) H3​(x)= α 0 ( x ) α_0(x) α0​(x) y 0 y_0 y0​+ α 1 ( x ) α_1(x) α1​(x) y 1 y_1 y1​+ β 0 ( x ) β_0(x) β0​(x) m 0 m_0 m0​+ β 1 ( x ) β_1(x) β1​(x) m 1 m_1 m1​。这里恒有β=0，那么 m 0 m_0 m0​、 m 1 m_1 m1​的开关就会关掉，那就只有 α 0 ( x ) α_0(x) α0​(x) y 0 y_0 y0​+ α 1 ( x ) α_1(x) α1​(x) y 1 y_1 y1​这部分，我们看到i=j时才有对应的α=1，那么就会将另一半的开关关掉，用 x 0 x_0 x0​举例，即出现 H 3 ( x 0 ) H_3(x_0) H3​(x0​)= α 0 ( x 0 ) α_0(x_0) α0​(x0​) y 0 y_0 y0​+ α 1 ( x 0 ) α_1(x_0) α1​(x0​) y 1 y_1 y1​=1* y 0 y_0 y0​+0* y 1 y_1 y1​= y 0 y_0 y0​的结果。

同理，求导时，公式变为 H 3 ′ ( x ) H'_3(x) H3′​(x)= α 0 ′ ( x ) α'_0(x) α0′​(x) y 0 y_0 y0​+ α 1 ′ ( x ) α'_1(x) α1′​(x) y 1 y_1 y1​+ β 0 ′ ( x ) β'_0(x) β0′​(x) m 0 m_0 m0​+ β 1 ′ ( x ) β'_1(x) β1′​(x) m 1 m_1 m1​。这里同样有 α ′ α' α′恒等于0，所以只剩 β 0 ′ ( x ) β'_0(x) β0′​(x) m 0 m_0 m0​+ β 1 ′ ( x ) β'_1(x) β1′​(x) m 1 m_1 m1​这部分，还有 β ′ β' β′在i=j时才=1的开关，即可得出最终结果。

第二部分：如何求解

这里也分成三部分：

（一）、二重零点

接下来有个重点，书上写的很不明确，为什么根据（5.4.1）， α 0 ( x 0 ) α_0(x_0) α0​(x0​)必包含因子(x-x 1 _1 1​) 2 ^2 2，为什么说 α 0 ( x ) α_0(x) α0​(x)中x 1 _1 1​时二重零点？

是这样，你看 α 0 ( x 1 ) α_0(x_1) α0​(x1​)和 α 0 ′ ( x 1 ) α'_0(x_1) α0′​(x1​)是不是都=0，那一定是因为， α 0 α_0 α0​含有( x x x- x 1 x_1 x1​) 2 ^2 2这一项。因为这样，不仅在原函数 x x x= x 1 x_1 x1​时为0，而且导数才一定会有( x x x- x 1 x_1 x1​)这一项并且 x x x= x 1 x_1 x1​时导数也为0。（再解释一下，( x x x- x 1 x_1 x1​) 2 ^2 2 f ( x ) f(x) f(x)的导数为( x x x- x 1 x_1 x1​) 2 ^2 2 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)+2( x x x- x 1 x_1 x1​)* f ( x ) f(x) f(x)，能提出( x x x- x 1 x_1 x1​)这一项）

（二）、构造式子

那么接下来就要理解这几个剩下的构造部分，先看定义：

平方那部分之前已经讲解完了，为什么会有剩下的构造，首先看 α 0 α_0 α0​，我们看上一张图片， α 0 α_0 α0​需要满足四个条件： α 0 ( x 1 ) α_0(x_1) α0​(x1​)=0， α 0 ( x 0 ) α_0(x_0) α0​(x0​)=1， α 0 ′ ( x 1 ) α'_0(x_1) α0′​(x1​)=0， α 0 ′ ( x 0 ) α'_0(x_0) α0′​(x0​)=0

目前我们可以满足， α 0 ( x 1 ) α_0(x_1) α0​(x1​)=0和 α 0 ′ ( x 1 ) α'_0(x_1) α0′​(x1​)=0，但是如果没有后半部分，一定满足不了剩下两个条件（为什么满足可以看后面的求导，现在不用知道）。

同理，β需要有 β i ( x i ) β_i(x_i) βi​(xi​)=0，所以 β 0 β_0 β0​中要有( x x x- x 0 x_0 x0​)这一项。

简单记忆一下，就是每个式子都要是三次项。

（三）、求解

看这个表吧，现在每个里面条件都用了三次了，还剩一个条件没用的(=1)，代入到式子中，就可以求出未知系数，最终结果是这样：

第三部分：插值余项

已经求完多项式了，但是还要算一下插值余项。

看一下得了。

4.2.2 解法二、结合牛顿插值

这个差商表和之前的很像，注意一下这一点就可： z 1 z_1 z1​相当于 x + ▲ x x+▲x x+▲x，利用导数定义，得到：

z 3 z_3 z3​同理。

然后套这个公式就可以了（这个公式还挺好记忆的）：

插值余项
R 3 ( x ) R_3(x) R3​(x)= f [ x , z 0 , z 1 , z 2 , z 3 ] f[x,z_0,z_1,z_2,z_3] f[x,z0​,z1​,z2​,z3​] ( x − x 0 ) 2 (x-x_0)^2 (x−x0​)2 ( x − x 1 ) 2 (x-x_1)^2 (x−x1​)2

4.2非齐次埃尔米特插值

能截图就不打字好吧，三个x，三个y，只有一个m。

重大发现：ppt上没讲非齐次的解法一，那我必然是不写的，理解上我已经在齐次的解法一上讲的差不多了，想看可以看。

4.2.1解法二、结合牛顿插值

新的差商表（看一下哪和之前不一样了）

新的方程

插值余项（和之前的对比一下更好记哦）：
R 3 ( x ) R_3(x) R3​(x)= f [ x , z 0 , z 1 , z 2 , z 3 ] f[x,z_0,z_1,z_2,z_3] f[x,z0​,z1​,z2​,z3​] ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0​) ( x − x 1 ) 2 (x-x_1)^2 (x−x1​)2 ( x − x 2 ) (x-x_2) (x−x2​)