概率密度函数中形状参数和尺度参数的区别

记录一下形状参数（shape parameter）和尺度参数（scale parameter）分别是什么，对分布函数起到什么样的控制作用。

以weibull分布为例，它的概率密度函数（PDF）是： p ( x ; λ , v ) = v λ ( x λ ) v − 1 e x p [ − ( x λ ) v ]     , x ≥ 0 p(x;\lambda,v)=\frac{v}{\lambda}(\frac{x}{\lambda})^{v-1}exp[-(\frac{x}{\lambda})^v]~~~,x≥0 p(x;λ,v)=λv​(λx​)v−1exp[−(λx​)v]   ,x≥0
在这里我们不追问weibull分布的物理意义，用对普通函数的角度看待。
其中， v v v是尺度参数， λ \lambda λ是形状参数。
分析 v v v和 λ \lambda λ有啥用，最简单的办法就是画出来观察观察，

左图：设置形状参数不变，改变尺度参数；观察左图曲线，可以发现，曲线似乎只是在幅度上产生变化，形状上都可以秒速为“逐渐下降的曲线”，因为他们的形状参数是一样的。但是由于尺度参数的不同，他们的“陡缓程度”有所区别，所以我们可以总结：尺度参数控制分布函数在幅度上的变化。

右图：设置尺度参数不变，改变形状参数；仔细观察可以发现，形状参数=1时，曲线形状可以描述为“逐渐下降”；形状参数=2时，曲线为“先骤升，后缓降”；形状参数=4时，可以描述为“骤升骤降”，曲线的形状发生的显著的变化，因此，我们可以总结：形状参数控制分布函数形状的变化。

我们一般也是看到这样的话，在某参数为多少的时候，该分布退化为什么其他分布，这里的参数其实指的都是形状参数。