详解康托展开与逆康托展开"/>

详解康托展开与逆康托展开

康托展开

rank=an(n−1)!+an−1(n−2)!+⋯+a10!
再举个例子说明。
在（1，2，3，4，5）5个数的排列组合中，计算 34152的康托展开值。
首位是3，则小于3的数有两个，为1和2，a[5]=2，则首位小于3的所有排列组合为 a[5]*(5-1)!
第二位是4，则小于4的数有两个，为1和2，注意这里3并不能算，因为3已经在第一位，所以其实计算的是在第二位之后小于4的个数。因此a[4]=2
第三位是1，则在其之后小于1的数有0个，所以a[3]=0
第四位是5，则在其之后小于5的数有1个，为2，所以a[2]=1
最后一位就不用计算啦，因为在它之后已经没有数了，所以a[1]固定为0
根据公式：
X = 2 * 4! + 2 * 3! + 0 * 2! + 1 * 1! + 0 * 0! = 2 * 24 + 2 * 6 + 1 = 61
所以比 34152 小的组合有61个，即34152是排第62。

逆康托展开

一开始已经提过了，康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，因此是可逆的。即对于上述例子，在（1，2，3，4，5）给出61可以算出起排列组合为 34152。由上述的计算过程可以容易的逆推回来，具体过程如下：

用 61 / 4! = 2余13，说明a[5]=2,说明比首位小的数有2个，所以首位为3。
用 13 / 3! = 2余1，说明a[4]=2，说明在第二位之后小于第二位的数有2个，所以第二位为4。
用 1 / 2! = 0余1，说明a[3]=0，说明在第三位之后没有小于第三位的数，所以第三位为1。
用 1 / 1! = 1余0，说明a[2]=1，说明在第二位之后小于第四位的数有1个，所以第四位为5。
最后一位自然就是剩下的数2啦。
通过以上分析，所求排列组合为 34152。