康托展开（转）

康托展开

康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+…+ai*(i-1)!+…+a2*1!+a1*0! 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。
　　这个公式可能看着让人头大，最好举个例子来说明一下。例如，有一个数组 s = [“A”, “B”, “C”, “D”]，它的一个排列 s1 = [“D”, “B”, “A”, “C”]，现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度，也就是4，所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？
a4 = “D” 这个元素在子数组 [“D”, “B”, “A”, “C”] 中是第几大的元素。”A”是第0大的元素，”B”是第1大的元素，”C” 是第2大的元素，”D”是第3大的元素，所以 a4 = 3。
a3 = “B” 这个元素在子数组 [“B”, “A”, “C”] 中是第几大的元素。”A”是第0大的元素，”B”是第1大的元素，”C” 是第2大的元素，所以 a3 = 1。
a2 = “A” 这个元素在子数组 [“A”, “C”] 中是第几大的元素。”A”是第0大的元素，”C”是第1大的元素，所以 a2 = 0。
a1 = “C” 这个元素在子数组 [“C”] 中是第几大的元素。”C” 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）
所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20


A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5


代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
long int factory[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//阶乘表
long Contor(char str[], int n)
{long result = 0;for(int i = 0; i < n; i++){int counted = 0;for(int j = i+1; j < n; j++){if(str[i] > str[j])             //当前未出现的元素中是排在第几个++counted;}result += counted*factory[n-i-1];   }return result;                        //从0开始
}
int main()
{char str[100];cin >> str;cout << Contor(str, strlen(str));return 0;
}

通过康托逆展开生成全排列

      如果已知 s = [“A”, “B”, “C”, “D”]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = [“D”, “B”, “A”, “C”] 呢？
　　因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai，如下图所示：

知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道s1[0] 是子数组[“A”, “B”, “C”, “D”]中第3大的元素 “D”，s1[1] 是子数组 [“A”, “B”, “C”] 中第1大的元素”B”，s1[2] 是子数组 [“A”, “C”] 中第0大的元素”A”，s[3] 是子数组 [“C”] 中第0大的元素”C”，所以s1 = [“D”, “B”, “A”, “C”]。
这样我们就能写出一个函数 Permutation3()，它可以返回 s 的第 m 个排列。


代码：

//康托展开逆运算（从0开始）
void Work(LL n,LL m)
{//n--;//从1开始vector<int> v;vector<int> a;for(int i=1;i<=m;i++)v.push_back(i);for(int i=m;i>=1;i--){LL r = n % factory[i-1];LL t = n / factory[i-1];n = r;sort(v.begin(),v.end());a.push_back(v[t]);v.erase(v.begin()+t);}vector<int>::iterator it;for(it = a.begin();it != a.end();it++)cout<<*it;cout<<endl;
}