康托展开与其逆运算

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康托展开与其逆运算

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，a为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)。这就是康托展开。康托展开可用代码实现。

康托展开的应用实例：

{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列 如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。
　　代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。
　　他们间的对应关系可由康托展开来找到。
　　如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的排列可以这样考虑 ：
　　第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!+1*0!就是康托展开。
　　再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

const int PermSize = 12;
long long factory[PermSize] = { 0, 1, 2, 6, 24, 120,720, 5040, 40320, 362880, 3628800,39916800 };
long long Cantor(string buf)
{int i, j, counted;longlong result = 0;for (i = 0; i < PermSize; ++i){counted = 0;for(j = i + 1; j < PermSize; ++j)if(buf[i] > buf[j])++counted;result = result + counted * factory[PermSize - i - 1];}return result;
}

康托展开的逆运算
例1 {1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕
　　(1)找出第96个数
　　首先用96-1得到95
　　用95去除4! 得到3余23
　　用23去除3! 得到3余5
　　用5去除2!得到2余1
　　用1去除1!得到1余0有3个数比它小的数是4
　　所以第一位是4
　　有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以是5（因为4在之前出现过了所以实际比5小的数是3个）
　　有2个数比它小的数是3
　　有1个数比它小的数是2
　　最后一个数只能是1
　　所以这个数是45321
　　(2)找出第16个数
　　首先用16-1得到15
　　用15去除4!得到0余15
　　用15去除3!得到2余3
　　用3去除2!得到1余1
　　用1去除1!得到1余0
　　有0个数比它小的数是1
　　有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4（因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2）
　　有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3（因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1）
　　有1个数比它小得数是2 但由于1，3，4已经在之前出现过了所以是5（因为1，3，4在之前出现过了所以实际比5小的数是1）
　　最后一个数只能是2
　　所以这个数是14352

程序   输入两个自然数n,m 1<=n<=20，1<=m<=n! 
输出n个数的第m种全排列。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <map>
#define MAXN 1111111
#define MAXM 400005
#define INF 2000000007
#define PI acos(-1.0)
using namespace std;
int n;
long long m;
long long fac[22];
int num[22];
int used[22];
int ans[22];
int main()
{fac[0] = 1;fac[1] = 1;for(int i = 2; i <= 20; i++)fac[i] = fac[i - 1] * (long long)i;scanf("%d%I64d", &n, &m);m--;for(int i = 1; i <= n; i++) num[i] = i - 1;for(int i = 1; i <= n; i++){long long k = m / fac[n - i];for(int j = 1; j <= n; j++)if(!used[j] && num[j] == k){ans[i] = j;used[j] = 1;break;}for(int j = 1; j <= n; j++)if(!used[j] && j > ans[i])num[j]--;m = m % fac[n - i];}for(int i = 1; i < n; i++) printf("%d ", ans[i]);printf("%d\n", ans[n]);return 0;
}