普通素数 筛法求素数 二次筛法求素数 MillerRabin素数测试【模板】

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普通素数 筛法求素数 二次筛法求素数 MillerRabin素数测试【模板】

素数和合数共同的性质：

1.a > 1是合数，当且仅当a = b * c，其中1 < b < a，1 < c < a。

2.合数必有素数因子。

3.如果d > 1，p是素数，且d | q，则d = p。

4.设p是素数且p | a*b，则必有p | a或者p | b。

素数的性质：

1.存在无穷多个素数。

2.每个大于1的正整数都有一个素因子。

素数的分布：

素数定理：用π(x)估计小于正整数x的素数有多少个。随着x的增长，π(x) / (x/ln x) = 1。

推论：令pn是第n个素数，其中n是正整数，那么pn ~ n*ln n。

素数的猜想：

1.波特兰猜想：对于任意给定的正整数n，其中n > 1，存在一个素数p，使得n < p < 2*n。

2.孪生素数猜想：存在无穷多的形如p和p+2的素数对。

3.哥德巴赫猜想：每个大于2的正偶数可以写成两个素数的和。可推出任一大于7的奇数都可

写成三个质数之和的猜想。

普通素数判断

int IsPrime(int N)      //注意#include<cmath>
{if(N <= 1)  return 0;int i;for(i = 2; i <= sqrt(N*1.0); ++i)if(N%i == 0)return 0;return 1;
}

筛法求素数[1，N]

const int MAXN = 1000000;
bool Prime[MAXN+100];   //Prime[i] == true表示i为素数
void IsPrime()
{for(int i = 2; i <= MAXN; ++i)Prime[i] = true;for(int i = 2; i <= MAXN; ++i)if(Prime[i])for(int j = i+i; j <= MAXN; j+=i)Prime[j] = false;
}

二次筛法求素数[L，R]

bool Prime[50010];      //存50000内素数判断结果
int Primer[1000010];    //存放区间[L,R]之间的素数
bool Prime1[1000010];   //判断区间[L,R]中的数是否为素数
int IsPrime()//第一次筛50000内的素数
{int num = 0;for(int i = 2; i <= 50000; i++)Prime[i] = true;for(int i = 2; i <= 50000; i++){if(Prime[i]){Primer[num++] = i;for(int j = i+i; j <= 50000; j+=i)Prime[j] = false;}}return num;     //num为50000范围内的素数个数
}int IsPrime2(__int64 a,__int64 b)
/*
在第一次筛素数的基础上，利用50000以内的素数，筛去范围【a,b】之间的素数倍数，
剩下则为素数
*/
{int num = IsPrime();memset(Prime1,true,sizeof(Prime1));//Prime1数组用来存放范围【a,b】的素性判断if(a == 1)  //这里注意1不是素数Prime1[0] = 0; //这里表示0+1不为素数for(__int64 i = 0; i < num && Primer[i] * Primer[i] <= b; i++){__int64 begin = a/Primer[i] + (a%Primer[i] != 0);//上边的a/Primer算出应a为素数Primer[i]的多少倍//(a%Primer[i]!=0)表示应从Primer[i]的a/Primer[i]倍开始筛，还是a/Primer[i]+1倍筛if(begin == 1)//若得出结果为所被筛素数的1倍，则从该素数的2倍开始筛begin++;for(begin = begin*Primer[i]; begin <= b; begin += Primer[i])Prime1[begin - a] = false;}//这里重新利用Primer数组，用来存放区间【a,b】间的素数，num为素数个数memset(Primer,0,sizeof(Primer));num = 0;for(__int64 i = a; i <= b; i++)if(Prime1[i-a]==1)Primer[num++] = i-a;return num;     //num为区间[a,b]的素数个数
}

Miller素数测试方法

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<math.h>
#define MAX_VAL (pow(2.0,60))
#define LL __int64
/*LL mod_mul(LL x,LL y,LL mo)   //计算x * y % mo
{LL t;x %= mo;for(t = 0; y; x = (x<<1)%mo,y>>=1)if(y & 1)t = (t+x) %mo;return t;
}*/
LL mod_mul(LL x,LL y,LL mo)     //计算x * y % mo
{LL t,T,a,b,c,d,e,f,g,h,v,ans;T = (LL)(sqrt(double(mo)+0.5));t = T*T - mo;a = x / T;b = x % T;c = y / T;d = y % T;e = a*c / T;f = a*c % T;v = ((a*d+b*c)%mo + e*t) % mo;g = v / T;h = v % T;ans = (((f+g)*t%mo + b*d)% mo + h*T)%mo;while(ans < 0)ans += mo;return ans;
}
LL mod_exp(LL num,LL t,LL mo)   //计算num^t % mo
{LL ret = 1, temp = num % mo;for(; t; t >>=1,temp=mod_mul(temp,temp,mo))if(t & 1)ret = mod_mul(ret,temp,mo);return ret;
}
bool miller_rabbin(LL n)    //miller_rabbin素性测试
{if(n == 2)  return true;if(n < 2 || !(n&1))     return false;int t = 0;LL a,x,y,u = n-1;while((u & 1) == 0){t++;u >>= 1;}for(int i = 0; i < 50; i++){a = rand() % (n-1)+1;x = mod_exp(a,u,n);for(int j = 0; j < t; j++){y = mod_mul(x,x,n);if(y == 1 && x != 1 && x != n-1)    return false;x = y;}if(x != 1)  return false;}return true;
}