已知＜G,∗＞是群，u∈G,定义“△”为a△b=a∗u−1∗b,∀a,b∈G,证明＜G,△＞为含幺半群

已知<G,∗><G,*><G,∗>是群，u∈Gu\in Gu∈G,定义“△\triangle△”为a△b=a∗u−1∗ba\triangle b=a*u^{-1}*ba△b=a∗u−1∗b,∀a,b∈G\forall a,b\in G∀a,b∈G,证明<G,△><G,\triangle><G,△>为含幺半群。

∵\because∵<G,∗><G,*><G,∗>是群，u∈Gu\in Gu∈G

∴\therefore∴u−1∈Gu^{-1}\in Gu−1∈G

∴∀a,b,∈G,a∗u−1∗b∈G\therefore \forall a,b, \in G,a*u^{-1}*b\in G∴∀a,b,∈G,a∗u−1∗b∈G

∵a△b=a∗u−1∗b\because a\triangle b=a*u^{-1}*b∵a△b=a∗u−1∗b

∴<G,△>\therefore <G,\triangle>∴<G,△>是封闭的

∵∀a,b,c∈G,(a△b)△c=a△(b△c)=a∗u−1∗b∗u−1∗c\because \forall a,b,c\in G,(a\triangle b)\triangle c=a\triangle (b\triangle c)=a*u^{-1}*b*u^{-1}*c∵∀a,b,c∈G,(a△b)△c=a△(b△c)=a∗u−1∗b∗u−1∗c

∴<G,△>\therefore <G,\triangle>∴<G,△>是半群

∀a∈G,a△u=a∗u−1∗u=a∗e=a\forall a\in G ,a\triangle u=a*u^{-1}*u=a*e=a∀a∈G,a△u=a∗u−1∗u=a∗e=a

​ u△a=u∗u−1∗a=e∗a=au\triangle a=u*u^{-1}*a=e*a=au△a=u∗u−1∗a=e∗a=a

∴u是半群<G,△>\therefore u是半群<G,\triangle>∴u是半群<G,△>的幺元

∴<G,△>\therefore <G,\triangle>∴<G,△>是含幺半群.