格
假设(L,≼)(L, \preurlyeq)(L,≼)为偏序集,如果对于任意a,b∈L,a,ba, b\in L ,{a, b}a,b∈L,a,b 都存在上确界和下确界,则称 <L,≼><L,\preurlyeq><L,≼> 为一个格(lattice)(lattice)(lattice)
显然上确界和下确界有唯一性
上确界L∪B(a,b)L \cup B({a, b})L∪B(a,b)记作a∨\lor∨b,称之为a与b的并(join)(join)(join)
下确界G∩B(a,b)G\cap B({a, b})G∩B(a,b)记作a∧\land∧b,称之为a与b的交(meet)(meet)(meet)
最大元、最小元
最大元:指偏序集的子集中不小于一切的元素
最小元:指偏序集的子集中不大于一切的元素
极大元、极小元
极大元:指偏序集中没有比它更大的可比较的元素
极小元:指偏序集中没有比它更小的可比较的元素
有界格
存在最大元和最小元的格称为有界格。
补元
设<L,≼><L,≼><L,≼>是有界格,a,b是L中的两个元,若a∨b=1,a∧b=0a∨b=1,a∧b=0a∨b=1,a∧b=0,则称a是b的补元或b是a的补元,或称a和b互为补元.
a∨b=1a \lor b=1a∨b=1意思是a和ba和ba和b向上走只有一个共同点111.
a∧b=1a \land b=1a∧b=1意思是a和ba和ba和b向下走只有一个共同点000.
分配格
满足分配率的即为分配格
对于格的任意元素x,y和z,均有x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)。由于格中结运算和交运算的对称性,上述条件等价于x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z)x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z)x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z),当LLL为分配格时,交运算对于结运算满足分配律,而且反之亦真。
布尔格、除数格、理想格、链等均为分配格。
判断
有界格中的某元的补元不止一个。则它不是分配格 √\surd√
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分配,有界格
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