【指数编制系列九】重复交易指数法

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【指数编制系列九】重复交易指数法

  重复交易法最早由Baily，Muth 和Nourse 于1963 年提出，经Case 和Shiller 的一系列重要工作而得以在房地产领域迅速推广。重复交易指数利用同一样本在不同时期发生的多次交易数据来计算房价指数，同样是一种被广泛应用的房价指数方法。与特征价格法不同，由于采用了差分模型，且假设住房特征和其特征价格不随时间发生变化，重复交易法仅通过观察每一个住房样本在两次交易中的价格变化情况来计算住房市场的平均价格变化，而不必观察住房的各种特征变量。但是，由于重复交易指数的计算只依赖于发生多次交易的样本，而发生多次交易的样本在全部房地产市场交易中所占的比例往往较低，因此重复交易指数的计算存在十分明显的样本选择性偏误。美国的FHFA 指数和S＆P /Case-Shiller 指数、英国的HM 土地登记指数、加拿大的国家银行指数等均为重复交易指数。
  类重复交易法的计算方法分为三个步骤。
  首先是样本匹配空间的选择，即根据某些条件选择一个具有明确范围的样本匹配空间，在该空间内部的样本之间进行相互匹配，在该空间以外的样本不与空间内样本进行匹配。
  第二步是样本匹配，采用“单间隔”匹配原则，即在同一匹配空间内的所有样本，按时间排序后，将且仅将任意两个相邻时间上的样本进行匹配，构成一个样本对。
  最后是差分模型的估计。在获得匹配样本后，即可通过差分方程估计时间固定效应，即价格随时间的变化情况。
  对于同一标的物，如果在t-1期发生购入行为，在t期发生卖出行为，如果在标的物没有出现重大损坏的情况下，标的物在t期的增值可以定义为两期市场价格比的自然对数形式，表示为：
r i , t = l n ( P i , t / P i , t − 1 ) r_{i,t}=ln(P_{i,t}/P_{i,t-1}) ri,t​=ln(Pi,t​/Pi,t−1​)
   r i , t r_{i,t} ri,t​是对数形式表示的第i件标的物在第t期的增值， P i , t P_{i,t} Pi,t​表示成交价格。如果以 S i S_i Si​和 B i B_i Bi​表示一标的物在买入期 b i b_i bi​和卖出期 s i s_i si​的价格，则单件标的物的价格增值形式可表示为：
y i = l n ( S i / B i ) = ∑ t = b i + 1 s i r i , t = ∑ t = b i + 1 s i μ t + ∑ t = b i + 1 s i ε i , t y_i=ln(S_i/B_i )=\sum_{t=b_i+1}^{s_i}r_{i,t}=\sum_{t=b_i+1}^{s_i}μ_t +\sum_{t=b_i+1}^{s_i}ε_{i,t} yi​=ln(Si​/Bi​)=t=bi​+1∑si​​ri,t​=t=bi​+1∑si​​μt​+t=bi​+1∑si​​εi,t​
  矩阵形式为：
y = X μ + ε y=Xμ+ε y=Xμ+ε
  加权最小二乘回归结果表示为：
μ ^ = ( X ′ Ω − 1 X ) X ′ Ω − 1 y \widehat{μ}=(X^{'} Ω^{-1} X)X^{' }Ω^{-1} y μ ​=(X′Ω−1X)X′Ω−1y
  其中Ω表示权重矩阵。第t期的价格指数可以表示为：
I t = E X P ( μ t ) E X P ( μ 1 ) × 100 I_t=\frac{EXP(μ_t)}{EXP(μ_1)}×100 It​=EXP(μ1​)EXP(μt​)​×100

  
  
  All things are difficult before they are easy.