java实现统计元首关键算法

元首关键算法"/>

java实现统计元首关键算法

Description

Pty生活在一个奇葩的国家，这个国家有n个城市，编号为1~n。

每个城市到达其他城市的路径都是有向的。

不存在两个城市可以互相到达。

这个国家的元首现在很愤怒，他大喊一声“气死偶咧！”，然后决定把所有的路径都毁掉再重建。

元首想知道有多少种重建的方案使得这个国家仍然奇葩。

Input

第一行一个整数：n

Output

输出n个城市的重建方案数mod(10^9+7)的结果

Hint**：**基图不连通也是合法方案

Sample Input

3

Sample Output

25

HINT

n <= 3000

Source

题解

前置知识：容斥原理

题解

求$n$个点的$DAG$(有向无环图)的个数。

设$f(i)$为$i$个点的$DAG$的个数。

对于$n$个点的$DAG$的个数，考虑至少有$i$个入度为$0$的点的方案为： $$ f(n-i) \binom{n}{i} 2^{i(n-i)} $$ 可以考虑选出了$i$个点，剩下的点和选出的点随便连的方案数。

然后注意到恰好$0$个入度为$0$的点的方案数为$0$，由容斥原理可得： $$ \sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} f(n-i) \binom{n}{i} 2^{i(n-i)}=0 $$ 移项可得： $$ f(n)=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} f(n-i) \binom{n}{i} 2^{i(n-i)} $$

#include

using namespace std;

#define int long long

void read(int &x) {

x=0;int f=1;char ch=getchar();

for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;

for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;

}

void print(int x) {

if(x<0) x=-x,putchar('-');

if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+'0');

}

void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define maxn 10050

#define mod 1000000007

int qpow(int a,int x) {

int res=1;

for(;x;x>>=1,a=a*a%mod) if(x&1) res=res*a%mod;

return res;

}

int f[maxn],fac[maxn],ifac[maxn];

signed main() {

int n;read(n);fac[0]=ifac[0]=1;

for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;

ifac[n]=qpow(fac[n],mod-2);

for(int i=n-1;i;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;

f[1]=f[0]=1;

for(int i=2;i<=n;i++)

for(int j=1,op=-1;j<=i;j++) op*=-1,f[i]=(f[i]+op*f[i-j]*qpow(2,j*(i-j))%mod*fac[i]%mod*ifac[i-j]%mod*ifac[j]%mod)%mod;

write((f[n]+mod)%mod);//cerr << (double)clock()/CLOCKS_PER_SEC << endl;

return 0;

}