三集合容斥原理整理

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三集合容斥原理整理

三集合容斥原理的三个公式都是怎么被推导出来的？ - 刘明哲的回答 - 知乎

你必须知道的行测数量知识（七）容斥问题 - 跟我考公吧的文章 - 知乎

借用知乎老哥的图图，来讲解一下

经典情况

告诉了黑，绿，蓝的全部

• 黑（1+4+5+7）=17
• 绿（2+4+6+7）=19
• 蓝（3+5+6+7）=21

告诉了各自的交集

• 黑∩绿（4+7）=11
• 绿∩蓝（6+7）=13
• 蓝∩黑（5+7）=12

告诉了三者交集

• 黑∩绿∩蓝 = 7

公式

总人数 = 17 + 19 + 21 - 11 - 13 - 12 + 7 = 28

求只做某件事的人数

蓝 - (绿∩蓝 + 蓝∩黑 - 黑∩绿∩蓝) = 21 - (13 + 12 - 7) = 3

非经典情况

求人数

告诉了黑，绿，蓝的全部

• 黑（1+4+5+7）=17
• 绿（2+4+6+7）=19
• 蓝（3+5+6+7）=21

告诉了只参加两个的

• 黑∩绿 = 4
• 绿∩蓝 = 6
• 蓝∩黑 = 5

只参加三个的（其实就是三者交集）

• 黑∩绿∩蓝 = 7

总人数 = 17 + 19 + 21 - 4 - 6 - 5 - 2*7 = 28

求人次

全部人次 = 1只参加一个的 + 2只参加2个的 + 3*三个都参加的

17 + 19 + 21 = 1*(1+2+3) + 2*(4+5+6) + 3*7

二集合容斥