【BZOJ2878】【NOI2012】迷失游乐园（动态规划）

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【BZOJ2878】【NOI2012】迷失游乐园（动态规划）

题面

BZOJ

题解

记得以前考试的时候做过这道题目
这题的暴力还是非常显然的，每次 dfs d f s $dfs$一下就好了。
时间复杂度 O(n2) O ( n 2 ) $O(n^2)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 111111
inline int read()
{RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return x*t;
}
struct Line{int v,next,w;}e[MAX<<1];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}
double ans;
bool vis[MAX];
int n,m;
void dfs(int u,double p,int len)
{int tot=0;vis[u]=true;for(int i=h[u];i;i=e[i].next)if(!vis[e[i].v])++tot;for(int i=h[u];i;i=e[i].next)if(!vis[e[i].v])dfs(e[i].v,p/tot,len+e[i].w);vis[u]=false;if(!tot)ans+=p*len;
}
int main()
{n=read();m=read();for(int i=1;i<=m;++i){int u=read(),v=read(),w=read();Add(u,v,w);Add(v,u,w);}for(int i=1;i<=n;++i)dfs(i,1.0/n,0);printf("%.5lf\n",ans);return 0;
}

发现到有一棵树的部分数据点
考虑一下树的答案
显然是以当前点为根节点，到达它所有叶子的路径长度的期望
显然可以树型 dp d p $dp$+换根解决，复杂度 O(n) O ( n ) $O(n)$
综合暴力可以拿到 80 80 $80$分

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 111111
inline int read()
{RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return x*t;
}
struct Line{int v,next,w;}e[MAX<<1];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}
double ans;
bool vis[MAX];
int n,m;
void dfs(int u,double p,int len)
{int tot=0;vis[u]=true;for(int i=h[u];i;i=e[i].next)if(!vis[e[i].v])++tot;for(int i=h[u];i;i=e[i].next)if(!vis[e[i].v])dfs(e[i].v,p/tot,len+e[i].w);vis[u]=false;if(!tot)ans+=p*len;
}
namespace Tree
{int son[MAX];double E[MAX],ans,E2[MAX];void dfs(int u,int ff){for(int i=h[u];i;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(v==ff)continue;++son[u];dfs(v,u);E[u]+=E[v]+e[i].w;}if(son[u])E[u]/=son[u];}void DFS(int u,int ff,int w){if(u==1)E2[u]=E[u];else{E2[u]=E[u]*son[u];if(son[ff]>1)E2[u]+=(E2[ff]*son[ff]-E[u]-w)/(son[ff]-1);E2[u]+=w;E2[u]/=(son[u]+1);++son[u];}ans+=E2[u];for(int i=h[u];i;i=e[i].next)if(e[i].v!=ff)DFS(e[i].v,u,e[i].w);}void Solve(){dfs(1,0);DFS(1,0,0);ans/=n;printf("%.5lf\n",ans);}
}
int main()
{n=read();m=read();for(int i=1;i<=m;++i){int u=read(),v=read(),w=read();Add(u,v,w);Add(v,u,w);}if(m==n-1){Tree::Solve();return 0;}for(int i=1;i<=n;++i)dfs(i,1.0/n,0);printf("%.5lf\n",ans);return 0;
}

剩下的问题是如何解决 n=m n = m $n=m$，也就是基环树的问题
我们这样考虑。
首先把环给拉出来，拉直，然后一条边从头连到尾
那么，这样子就是一个环，然后每个点上面挂着一些点
我们显然可以计算出每个点向下的期望，现在要算的是向上的期望
因为向上的期望只可能在环上走，所以枚举所有环上的点，依次考虑每个点的期望
因为在环上只有三种走法，向左，向右，走向子树
因此，对于每个环上的点，暴力 dfs d f s $dfs$一遍，计算它到达长度的期望，
这个长度显然是到达某个环上的点之后，进入了这个点的子树。
这样子再像树型 dp d p $dp$一样从上往下转移一次就好了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 111111
inline int read()
{RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return x*t;
}
struct Line{int v,next,w;}e[MAX<<1];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}
int n,m,son[MAX],root;
double E[MAX],ans,E2[MAX];
bool incir[MAX],vis[MAX];
int fa[MAX],cir[MAX],tot;
void dfs(int u)
{vis[u]=true;for(int i=h[u];i;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(vis[v]||incir[v])continue;++son[u];dfs(v);E[u]+=E2[v]+e[i].w;}if(son[u])E2[u]=E[u]/son[u];if(u!=root)++son[u];
}
void DFS(int u)
{vis[u]=true;for(int i=h[u];i;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(vis[v]||incir[v])continue;E[v]+=(E[u]-E2[v]-e[i].w)/max(1,son[u]-1)+e[i].w;DFS(v);}
}
void dfscir(int u,int ff)
{vis[u]=true;fa[u]=ff;for(int i=h[u];i;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(v==ff)continue;if(incir[v])continue;if(vis[v])//Circle{for(int j=u;j!=v;j=fa[j])cir[++tot]=j;cir[++tot]=v;for(int j=1;j<=tot;++j)incir[cir[j]]=true;}else dfscir(v,u);}
}
double g[MAX],f[MAX];
void dfs(int u,int ff)
{bool fl=false;g[u]=0;for(int i=h[u];i;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(v==root||v==ff||!incir[v])continue;fl=true;dfs(v,u);g[u]+=g[v]+e[i].w;}if(u==root)return;int k=son[u];if(!k)++k;if(!fl)g[u]=E[u]/k;else k=son[u]+1,g[u]=(g[u]+E[u])/k;
}
int main()
{n=read();m=read();for(int i=1;i<=m;++i){int u=read(),v=read(),w=read();Add(u,v,w);Add(v,u,w);}if(m==n-1){root=1;dfs(1);memset(vis,0,sizeof(vis));DFS(1);}else{dfscir(1,0);memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=1;i<=tot;++i)root=cir[i],dfs(cir[i]);for(int i=1;i<=tot;++i)root=cir[i],dfs(cir[i],0),f[cir[i]]=g[cir[i]];memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=1;i<=tot;++i)son[cir[i]]+=2,E[cir[i]]+=f[cir[i]];for(int i=1;i<=tot;++i)root=cir[i],DFS(cir[i]);}for(int i=1;i<=n;++i)ans+=E[i]/son[i];ans/=n;printf("%.5lf\n",ans);return 0;
}