备胎的概率论

编程入门行业动态更新时间:2024-10-10 07:29:21

备胎的概率论

从概率论的角度分析备胎的成功率

引言

现如今，随着男女比例的时调，与女权意识的觉醒，许多女性对男性的要求十分之高，导致了很多男性找不到女朋友（比如说我了）。在这种社会背景下，备胎成了一个令人调侃的词语，但是备胎真的这么失败吗？或者说备胎的成功率有多高呢？
本着学术研究的态度，我从概率论的角度对备胎的成功率进行分析，计算出怎样做备胎，才能最大可能性脱单。

模型假设

我们可以同时是很多个女性的备胎，
不同情侣间概率相互独立，
在情侣分手后，我们一定可以竞选成功，
我们竞选成功后，不影响后面的概率，即之后再有情侣的分手概率，

目标概率的确立

我们记第 n n n对情侣的“有效期”为 X n X_n Xn，也就是说，第 n n n对情侣会在第 n n n天分手。基于模型的假设2，可知，只要有一对情侣分手了，我们的备胎生涯就结束了，并取得了成功。所以我们需要计算的概率就是，
P { m i n i = 1 n ( X i ) < x } P\{min_{i=1}^n(X_i) <x \} P{mini=1n(Xi)<x}
其中， x x x代表当前的天数，也就是计算第 x x x天时已经有情侣分手的概率。
又基于假设2， X n X_n Xn之间相互独立的，所以我们可以对目标概率做如下处理，
P { m i n i = 1 n ( X i ) < x } = 1 − P { m i n i = 1 n ( X i ) ≥ x } = 1 − P { X i ≥ x ∣ i = 1... n } = 1 − Π i = 1 n P { X i ≥ x } = 1 − Π i = 1 n ( 1 − F i ( x ) ) P\{min_{i=1}^n(X_i) <x \}\\ = 1 - P\{min_{i=1}^n(X_i) \geq x\} \\ =1 - P\{X_i \geq x | i = 1...n\} \\=1 - \Pi_{i=1}^nP\{X_i\geq x\}\\ =1-\Pi_{i=1}^n(1-F_i(x)) P{mini=1n(Xi)<x}=1−P{mini=1n(Xi)≥x}=1−P{Xi≥x∣i=1...n}=1−Πi=1nP{Xi≥x}=1−Πi=1n(1−Fi(x))
其中 Π \Pi Π代表累乘， F i ( x ) F_i(x) Fi(x)代表概率 P { X i < x } P\{X_i < x\} P{Xi<x}。

再化简了目标概率后，只取取定 X n X_n Xn的概率分布，就可以计算出备胎的成功概率了。

概率模型的选取

为了简化模型，方便求解，我们需要增加如下的模型假设，

模型假设

不同的情侣服从相同的概率分布，
情侣的分手的数学期望值为30天，
对于每对情侣，每天的分手概率是相互独立的。

基于上述假设，我们发现，e指数分布可以较好的描述情侣的分手概率。

指数分布

基于概率论知识，我们知道，e指数分布通常用于描述电子设备的有效期，因为其从时间上看是相互独立的。我们认为这个爱情，或者说现充，就像电灯泡，指不定哪天就烧断芯了。所以，我们也使用了电子设备中最常用的e指数分布来描述情侣的有效期。其概率密度函数如下，
f ( x ) = − λ e − λ x , x > 0 f(x) = -\lambda e^{-\lambda x}, x > 0 f(x)=−λe−λx,x>0
其在，x < 0 处，概率密度处处为0。
容易求得，其数学期望值为
E ( X ) = 1 λ E(X) = {1 \over \lambda} E(X)=λ1
基于假设6，我们可计算出
λ = 1 E ( X ) = 1 30 \lambda = {1 \over E(X)} = {1 \over 30} λ=E(X)1=301
又由于假设7, 可得到概率分布函数为，
F i ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x = 1 − e − λ x F_i(x) = \int^x _{-\infty}f(x)dx = 1 - e^{-\lambda x} Fi(x)=∫−∞xf(x)dx=1−e−λx

模型求解与分析

将上述 F i ( x ) F_i(x) Fi(x)带入目标概率，可得到
P { m i n i = 1 n ( X i ) < x } = 1 − Π i = 1 n e − λ i x = 1 − e − λ n x = 1 − e − n x / 30 P\{min_{i=1}^n(X_i) <x \}\\ =1-\Pi_{i=1}^n e^{{-\lambda_i x}}\\ =1- e^{{-\lambda n x}}\\ = 1- e^{-{nx} / {30}} P{mini=1n(Xi)<x}=1−Πi=1ne−λix=1−e−λnx=1−e−nx/30
终于求解完了，结果非常的amazing。
我们先来看看在置信度为0.95的条件下有什么结果，也就是
P { m i n i = 1 n ( X i ) < x } > 0.95 ⇒ n x > 30 l n 20 P\{min_{i=1}^n(X_i) <x \} > 0.95 \Rightarrow n x > 30 ln20 P{mini=1n(Xi)<x}>0.95⇒nx>30ln20
可以得到其图像如下，
我们发现，在n较大时，在10天内就能成功竞选！！
我们再假设一个备胎愿意等上30天，那么他的成功概率就是
P { m i n i = 1 n ( X i ) < 30 } = 1 − e − n P\{min_{i=1}^n(X_i) <30 \} = 1 - e^{-n} P{mini=1n(Xi)<30}=1−e−n
竟然是个指数函数！！！
此时，只要他同时成为5个女性的1号备胎，在30天内脱单概率就能有惊人的0.993！！！