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计算方法报告.doc

目 录

实验一 数值稳定性实验1

实验二 非线性方程求根的数值解法3

实验三 线性方程组的数值解法(一)5

实验四 线性方程组的数值解法(二)8

实验五 分段插值和拉格朗日插值实验11

实验名称： 实验一 数值稳定性实验实验内容：设

(1)从尽可能精确的近似值出发，利用递推式

计算的近似值。

(2)从较粗糙的估计值出发，利用递推式

计算的近似值。

(3)分析所得结果的可靠性以及出现这种现象的原因。实验过程：

初步计算，由已知递推式，可计算得的近似值。

如下：

s=log(6)-log(5);

n=0;

fprintf('I(%g)=%f\n',n,s);

for i=1:20

s=-5.*s+1./i;

n=i;

fprintf('I(%g)=%f\n',n,s);

end

执行结果：

由积分估值得

.

取，得，我们粗略取，再由已知递推式，可计算得的近似值。如下：

s=(1/126+1/106)./2;

n=20;

fprintf('I(%g)=%f\n',n,s);

for i=20:-1:1

s=-s./5+1./(5*i);

n=i-1;

fprintf('I(%g)=%f\n',n,s);

end

执行结果：

实验结果分析：

对照上面的计算结果，可以看出，方案(2)从较粗糙的估计值出发，就得到相当精确的值(误差不超过)；而方案(1)得到的估计值与(2)差别很大。实际上，经(1)计算的，即计算的结果不可靠。

记，则，即比扩大了倍。当用方案(1)计算时，尽管初值相当精确，由于误差传播是逐步扩大的，因而计算的结果不可靠；反之，用方案(2)计算时，尽管较大，但是由于误差逐步缩小，故可以用近似。而，计算的就相当精确了。

实验内容： 求方程在区间上的近似值，要求误差不超过。

(1)利用二分法；

(2)取初值，利用简单迭代法；

(3)取初值，利用牛顿迭代法。实验过程：

二分法求解

Matlab代码如下：

function [f]=fac1(x)

f=exp(x)+10.*x-2;

输入程序：

%初始化数据;

a=0;b=1.5;t=Inf;k=0;

s1=fac1(a);s2=fac1(b);

if s1.*s2>0 %检查端点函数值是否同号;

disp('区间[a,b]内无零点或者无法确定\n');

else while abs(t-(a+b)/2.)>1e-6

t=(a+b)/2.;

if fac1(t)==0

break;

elseif fac1(t).*fac1(a)<0

b=t;

else a=t;

end

k=k+1;

fprintf('x(%g)=%f\n',k,t);

end

end

执行结果(截屏)：

(2)简单迭代法求解

Matlab代码如下：

function [f]=fac2(x)

f=(2-exp(x))./10;

输入程序：

%初始化数据;

a=1.3;

k=0;

while abs(a-fac2(a))>1e-6

t=fac2(a);

a=t;t=a;

k=k+1;

fprintf('x(%g)=%f\n',k,t);

end

执行结果(截屏)：

(3)Newton迭代法

如下：

function [f]=fac1(x)

f=exp(x)+10.*x-2;

function [f]=dfac1(x)

f=exp(x)+10;

输入程序：

%初始化数据;

a=1.3;

t=Inf;

k=0;

fprintf('x(%g)=%f\n',k,a);

while abs(fac1(a)/dfac1(a))>1e-6

t=a-fac1(a)/dfac1(a);

a=t;

k=k+1;

fprintf('x(%g)=%f\n',k,a);

end

执行结果(截屏)：

实验结果分析：

分析以上结果，可以得到，方程的根在附近。其中，用Newton迭代法只迭代了3次，就达到误差不超过的近似零点值，收敛速度明显优于另外两种方法。

针对此问题的简单迭代法求根的方法收敛慢的情况，我们可以采用Aitken加速方法或Steffensen迭代法，对原方法加以改进，使其加速收敛，此处不予给出。

实验内容：求解线性方程组

并比较计算结果精度(方程组精确解为)

(1