置换群诱导出的二元关系必然是一个等价关系

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置换群诱导出的二元关系必然是一个等价关系

前言：仅个人小记。辅助于伯恩赛德定理的证明。

证明内容

由集合 S 上的一个置换群 &lt; G , ∗ &gt; &lt;G,*&gt; <G,∗>诱导的二元关系 R是一个等价关系 ，诱导二元关系 R 定义如下 R = { &lt; a , b &gt; ∣ π ( a ) = b , π ∈ G } R=\{&lt;a,b&gt;|\pi(a)=b,\pi\in G\} R={<a,b>∣π(a)=b,π∈G}

证明

证明思路：借助群里的三个性质分别推出等价关系的三个特性。具体如下：

1. 由置换群 G 存在幺元可以推知二元关系 R 具有自反性。
   存在幺元 e，即 ∀ a ∈ S , e ( a ) = a \forall a \in S,e(a)=a ∀a∈S,e(a)=a即
   ∀ a ∈ S , 有 &lt; a , a &gt; 存 在 ， 即 关 系 R 满 足 自 反 性 \forall a \in S,有&lt;a,a&gt;存在，即关系R满足自反性 ∀a∈S,有<a,a>存在，即关系R满足自反性

2. 由置换群 G 的封闭性可以推知二元关系 R 具有传递性。
   因为群的封闭性，故而 ∀ π 1 , π 2 ∈ G \forall \pi_1,\pi_2 \in G ∀π1​,π2​∈G，必然 π 1 ∗ π 2 ∈ G \pi_1*\pi_2\in G π1​∗π2​∈G。进而,
   若 有 π 1 ( a ) = b 以 及 π 2 ( b ) = c 若有 \pi_1(a)=b以及\pi_2(b)=c 若有π1​(a)=b以及π2​(b)=c则必然有
   π 2 π 1 ( a ) = π 2 ( π 1 ( a ) ) = π 2 ( b ) = c \pi_2\pi_1(a)=\pi_2(\pi_1(a))=\pi_2(b)=c π2​π1​(a)=π2​(π1​(a))=π2​(b)=c即，若存在 &lt; a , b &gt; , &lt; b , c &gt; &lt;a,b&gt;,&lt;b,c&gt; <a,b>,<b,c>,则必然有 &lt; a , c &gt; &lt;a,c&gt; <a,c>,即满足关系 R 满足传递性。

3. 由置换群G中元素都可逆，可以推知二元关系R 具有对称性。
   ∀ π ∈ G , 存 在 π − 1 ∈ G \forall \pi \in G,存在\pi^{-1}\in G ∀π∈G,存在π−1∈G故而,
   若 π ( a ) = b , 则 有 a = π − 1 ( b ) 若\pi(a)=b,则有a=\pi^{-1}(b) 若π(a)=b,则有a=π−1(b)即
   若 &lt; a , b &gt; ， 则 有 &lt; b , a &gt; 若&lt;a,b&gt;，则有&lt;b,a&gt; 若<a,b>，则有<b,a>即二元关系 R 具有对称性。

综上，置换群 G诱导出的二元关系 R 为一个等价关系。证毕！