用微分方程解一道气体混合的问题

微分方程解一道气体混合的问题"/>

用微分方程解一道气体混合的问题

已知某车间的容积为 3 × 30 × 6 m 2 3\times30\times6m^2 3×30×6m2，其中含0.12%的二氧化碳，现以含0.04%二氧化碳的新鲜空气输入。问每分钟应输入多少这样的新鲜空气，才能在30分钟后使得车间空气中二氧化碳的含量不超过0.06%？
（假定输入的新鲜空气于原有空气很快混合均匀后，以相同的流量排出。）
d x d t \frac{dx}{dt} dtdx​=注入速度 - 流出速度

解：设每分钟应该输入 k m 3 km^3 km3新鲜空气，t时刻车间空气中二氧化碳含量为 x m 3 xm^3 xm3
{ d x d t = 1 2500 k − x 5400 k x ( 0 ) = 5400 × 0.12 ％ \left\{ \begin{aligned} \frac{dx}{dt}=\frac{1}{2500}k-\frac{x}{5400}k\\ x(0)=5400\times0.12％ \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧​dtdx​=25001​k−5400x​kx(0)=5400×0.12％​
注：两个k前者是输入速度，后者是流出速度。
解上面一个微分方程得
x = 54 ( 0.08 e − k 5400 t + 0.04 ) 当 t = 30 时 ， x = 5400 × 0.06 ％ k = 180 l n 4 x=54(0.08e^\frac{-k}{5400}t+0.04)\\当t=30时，x=5400\times0.06％\\k=180ln4 x=54(0.08e5400−k​t+0.04)当t=30时，x=5400×0.06％k=180ln4
因此每分钟至少需要输入 180 l n 4 m 3 180ln4 m^3 180ln4m3的空气