微分方程解一道气体混合的问题"/>
用微分方程解一道气体混合的问题
已知某车间的容积为 3 × 30 × 6 m 2 3\times30\times6m^2 3×30×6m2,其中含0.12%的二氧化碳,现以含0.04%二氧化碳的新鲜空气输入。问每分钟应输入多少这样的新鲜空气,才能在30分钟后使得车间空气中二氧化碳的含量不超过0.06%?
(假定输入的新鲜空气于原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出。)
d x d t \frac{dx}{dt} dtdx=注入速度 - 流出速度
解:设每分钟应该输入 k m 3 km^3 km3新鲜空气,t时刻车间空气中二氧化碳含量为 x m 3 xm^3 xm3
{ d x d t = 1 2500 k − x 5400 k x ( 0 ) = 5400 × 0.12 % \left\{ \begin{aligned} \frac{dx}{dt}=\frac{1}{2500}k-\frac{x}{5400}k\\ x(0)=5400\times0.12% \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧dtdx=25001k−5400xkx(0)=5400×0.12%
注:两个k前者是输入速度,后者是流出速度。
解上面一个微分方程得
x = 54 ( 0.08 e − k 5400 t + 0.04 ) 当 t = 30 时 , x = 5400 × 0.06 % k = 180 l n 4 x=54(0.08e^\frac{-k}{5400}t+0.04)\\当t=30时,x=5400\times0.06%\\k=180ln4 x=54(0.08e5400−kt+0.04)当t=30时,x=5400×0.06%k=180ln4
因此每分钟至少需要输入 180 l n 4 m 3 180ln4 m^3 180ln4m3的空气
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