AtCoder题解——Beginner Contest 178——C

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AtCoder题解——Beginner Contest 178——C

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AtCoder Beginner Contest 178 C 题，。

Problem Statement

How many integer sequences A1,A2,…,AN of length N satisfy all of the following conditions?

• 0 ≤ Ai ≤ 9
• There exists some i such that Ai=0 holds.
• There exists some i such that Ai=9 holds.
• The answer can be very large, so output it modulo 109+7

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N

Output

Print the answer modulo 10^9+7.

Samples1

Sample Input 1

2

Sample Output 1

2

Explaination

Two sequences {0,9} and {9,0} satisfy all conditions.

Samples2

Sample Input 2

1

Sample Output 2

0

Samples3

Sample Input 3

869121

Sample Output 3

2511445

Constraints

• 1 ≤ N ≤ 10^6
• N is an integer.

题解报告

一个组合数学问题。

题目翻译

长度为 N 的序列 A1,A2,…,AN 中，有几个满足以下条件：

1、0 ≤ Ai ≤ 9；

2、序列中有一个数字为 0；

3、序列中有一个数字为 9；

求满足这样的序列个数，由于数据会比较大，答案对 取模。

题目分析

一个非常标准组合数学问题，需要使用的容斥原理，因为其中会有重复。从题目的意思可以看到，没有要求数字不能重复。

全排列

有长度为 N 的数组，每个位置的取值为 0 ~ 9，因此，数量为 种。

不包含 0 的排列

有长度为 N 的数组，每个位置的取值为 1 ~ 9，因此，数量为 种。

不包含 9 的排列

有长度为 N 的数组，每个位置的取值为 0 ~ 8，因此，数量为 种。

同时不包含 0 和 9 的排列

有长度为 N 的数组，每个位置的取值为 1 ~ 8，因此，数量为 种。

最终答案

这样，我们根据容斥原理可得，最终的答案为 。

难点

根据我们推导出的数学公式，你也许认为使用 pow() 函数就可以解决问题，请注意 N 的最大值为 ，也就意味这 这将是一个天文数字。无法直接使用 pow() 函数来实现。因此需要使用快速幂。

AC 参考代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;
const LL MO=1e9+7;LL qmi(LL a,LL b) {LL res=1;while(b) {if (b&1) {res=res*a%MO;}a=a*a%MO;b>>=1;}return res;
}int main() {LL n;cin>>n;cout<<((qmi(10ll,n)-2*qmi(9ll,n)+qmi(8ll,n))%MO+MO)%MO<<"\n";return 0;
}