有界变差函数（bounded variation function）

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有界变差函数（bounded variation function）

有界变差函数（英文：bounded variation function）是实分析和泛函分析中的一种函数类型。首先，我们需要理解变差（variation）的概念，然后再来解释什么是有界变差函数。

给定一个定义在区间[a, b]上的实值函数f(x)，我们可以考虑函数在该区间内的变化程度。为了衡量这个变化程度，我们引入变差的概念。

变差（variation）：在区间[a, b]上考虑所有可能的有限划分P = {x_0, x_1, …, x_n}，其中a = x_0 < x_1 < … < x_n = b。定义f的总变差（total variation）为：

V(f; a, b) = sup(Σ |f(x_i) - f(x_{i-1})|)，其中i从1到n，sup表示上确界，也就是所有这种划分的函数值差绝对值之和的最大值。

有界变差函数：如果一个函数f(x)在区间[a, b]上的总变差有界，即V(f; a, b) < +∞，则称这个函数为有界变差函数。

有界变差函数的一些性质包括：

1、有界变差函数在[a, b]区间上一定是有界的。
2、有界变差函数可以分解为两个单调递增函数之差。
3、如果一个函数在[a, b]区间内是绝对连续的，那么它一定是有界变差的。

我们考虑一个简单的例子：函数f(x) = |sin(x)|，定义在区间[0, 2π]上。

首先，我们知道sin(x)在区间[0, 2π]上是周期性变化的，它的图像在y轴上波动，取值范围为[-1, 1]。对于|sin(x)|，我们可以看到它的图像是在y轴上向上波动，取值范围为[0, 1]。

我们将使用变差的定义来计算|sin(x)|在区间[0, 2π]上的变差。为了简化问题，我们可以考虑区间[0, π]，因为|sin(x)|在区间[π, 2π]上的变化与区间[0, π]上的变化相同。

在区间[0, π]上，|sin(x)|从0增加到1，然后减小到0。我们可以写出一个区间划分P = {0, π/2, π}。对应的函数值差绝对值之和为：

|sin(π/2) - sin(0)| + |sin(π) - sin(π/2)| = 1 + 1 = 2

由于|sin(x)|在[0, π]区间上是单调递增然后单调递减的，因此上述划分实际上给出了总变差的最大值。这意味着在区间[0, π]上，|sin(x)|的总变差为2。类似地，在区间[π, 2π]上，|sin(x)|的总变差也为2。因此，在区间[0, 2π]上，|sin(x)|的总变差为4。

由于|sin(x)|在区间[0, 2π]上的总变差有界，我们可以得出结论：f(x) = |sin(x)|是一个有界变差函数。

简单来说，有界变差函数就是在某个区间内变化程度有界的函数。这类函数在数学分析、泛函分析以及偏微分方程等领域具有重要的理论意义。

见