Lecture 5: Discrete Random Variables； Probability Mass Functions； Expectations

Random Variables； Probability Mass Functions； Expectations"/>

Lecture 5: Discrete Random Variables； Probability Mass Functions； Expectations

前言：这节课主要讲random variable的概念，PMF以及期望和方差

random variable是描述实验结果outcome的变量，也可以看成sample space 在实数域上的映射。
random variable is not random, is not variable, it is just a function from sample space to the real number.

举个例子在这个图中，
sample space是班中的所有学生，每个学生都对应一个身高，身高这个变量就是random variable，（60inch， 70inch）是这个outcome对应random variable的值。

一个random variable的函数也是一个random variable, 比如我们用 H ˉ \bar H Hˉ 来表示厘米为单位的身高。

可以有很多的random variable来描述sample space， 比如学生的体重， 身高，年龄，成绩，，，。

上图对于一个特定的random variable的值，可能对应这很多outcomes，这些outcomes就会形成一个subset，也就是事件event。
概率质量函数PMF描述的就是，对于random variable X这个映射，当映射结果是x时，对应outcomes 形成的subset event的概率。

因为 p X ( x ) p_X(x) pX​(x)代表了random variable 等于x时，outcomes集合的概率，那么这个概率一定大于等于0，最小为空集也就是0。每个x对应一个集合，所有x对应集合的加和就是样本空间，所以 ∑ x p X ( x ) = 1 \sum_{x}p_X(x) = 1 ∑x​pX​(x)=1

掷硬币，random variable是第一次head朝上的投掷次数
这个例子比较简单，因为每个value只对应一个outcome，所以每个value对应的事件是只含有一个元素的集合， 例如 x = 2 x = 2 x=2 对应 {TH}这个事件，其中只有一个outcome TH。
geometric 是等比数列的意思

在这个例子中。 一个random variable的值对应着多个outcomes形成的事件。

假如有一个游戏抽奖，抽到1 的概率是 1 6 \frac{1}{6} 61​，抽到2的概率是 1 2 \frac{1}{2} 21​，抽到4的概率是 1 3 \frac{1}{3} 31​，那么抽一次奖，我们期望能得多少钱呢，答案就是 1 6 ∗ 1 + 1 2 ∗ 2 + 1 3 ∗ 4 = 2.5 \frac{1}{6} * 1 + \frac{1}{2} * 2 + \frac{1}{3} * 4 = 2.5 61​∗1+21​∗2+31​∗4=2.5


上图里面hard是直接对Y求期望，对于y1和 y2 分别找到蓝圈对应的event的概率。
上图里的easy是对每个x找到对应的event（红圈）和x对应的y值（g（x））再求期望。
caution: In general, you can not reason on the average.

tangle up：缠在一起，包含; 扭结;