利用MATLAB求费马点,费马点在数学解题中的应用.ppt

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* 如图，在ABC中，AC=BC=2，角ACB=90度，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，求EC+ED的最小值。 * * 费马点 在数学解题中的应用 德化三中 陈为烧 学习情境 　 法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。人们称这个点为“费马点”。这是一个历史名题。 近几年中考数学出现过不少这类问题。 你听说过费马点吗? 本节课我们将了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用． 　 费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点． 费马点定义 A B C P 如图,P为△ABC所在平面上的一点，若P到△ABC三顶点的距离之和为PA+PB+PC,当点P哪点时,距离之和最小。 如何找点P使它到△ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 找费马点方法 若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。 A B C P 费马点证明 将△BPC绕点B旋转60°到△BP′C′ 的位置,连接PP′,则△BPP′为正三角形. ∴PA+PB+PC=PA+PP′+P′C≥AC′. 当A、P、P′、C′在同一直线上, 即∠APB=180°- BPP’=120° ∠BPC= ∠ BPC′ =120°时, PA+PB+PC=AC′为最小值 证明： 证明： 2.若三角形有一个角大于120°，则费马点为三角形钝角的顶点。 1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角. 结论 P 三角形最大角小于1200 费马点如何画？ 距离之和的最小值如何求？ 等腰Rt△ABC，边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是 。 例1： 等腰直角三角形类型 知识运用 已知正方形ABCD内一动点E到A、B、 C三点的距离之和的最小值为 ，求此正方形的边长． 练习： 已知三村庄A、B、C构成了如图所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°)，现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值. 例2： 若点P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°, 则点P叫做△ABC的费马点． (1) 如图1，若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 则PB的值 ； (2)如图2，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC． 例3： 1.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为 时，求正方形的边长. 作业： * 如图，在ABC中，AC=BC=2，角ACB=90度，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，求EC+ED的最小值。 * *