输出调节 （2）——证明中用到的概念总结

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输出调节 （2）——证明中用到的概念总结

注：以下部分内容来源于百度

矩阵 赫尔维兹 hurwitz

• 意义：

线性系统的状态矩阵是Hurwitz矩阵，则该系统是稳定的

• 定义：
  对给定的多项式：
  
  写出其赫尔维兹矩阵：
  
  （对角线上为a1 到 an，再按照从大到小的顺序在每一列上补其他元素）
• 性质：

由Hurwitz矩阵表示的多项式为稳定的（多项式的所有根都有负实部）；
线性常系数微分方程的系数矩阵为赫尔维茨矩阵时，该系统是渐近稳定的。

西尔韦斯特方程 sylvester equation

是控制论中的矩阵方程

• 形式：

其中A、B、C已知，要找到X，其中所有矩阵的系数都是复数

• 条件：

• 解：
• 西尔维斯特方程有唯一解X的充分必要条件是A和-B没有共同的特征值

延申 >> Roth消去法则

假设二个大小分别为n和m的方阵A和B，以及大小为n乘m的矩阵C，则可以确认以下二个大小为n+m的方阵和
是否彼此相似。这二个矩阵相似的条件是存在一矩阵X使得AX-XB=C，换句话说，X为西尔维斯特方程的解，这称为Roth消去法则（Roth’s removal rule)。
可以用以下方式检查，若AX-XB=C，则：

雅各比矩阵 jacobian matrix

内容：一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵
目的：体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近

• 此时方程为向量与向量的求导
• 分子的第m个元素，是第m行的分子
• 分母的第n个元素，是第n列的分母

雅可比矩阵在非线性系统中也作为判断系统稳定性的一个方法
在非线性系统中，状态方的f(x)的雅各比矩阵设为J(x)
由J(x)构造的矩阵函数为负定，是平衡态为渐近稳定的一个充分条件
（具体内容在上一篇相关博文中：现代控制理论——非线性系统的lyapunov）

黑塞矩阵 hessian matrix

（海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵）
内容：多元函数的二阶偏导数构成的方阵
描述的意义：描述了函数的局部曲率
目的：处理优化问题

这里要注意的是，这里是矩阵值函数对矩阵再求导，而不是直接对数进行求导。