用C语言判断一个数能被3整除,Brainstorming——不用除法判断某数能否被3整除

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用C语言判断一个数能被3整除,Brainstorming——不用除法判断某数能否被3整除

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考虑我们那 32-bit unsigned int 的性质，它做加法、乘法只会保留低 32-bit 的结果。

实际上，它是模 2^32 的剩余系。我们可以找到这样一个数 p 使得 3*p = 1 (mod 2^32)

p 可以取 0xAAAAAAAB，3*p = 0x200000001 = 2^33 + 1

对于给出的数 a，只要乘上 p(0xAAAAAAAB)，如果 a 能被3整除，那么 a*p＊3 = a (mod 2^32)

如果 a 能被3整除，那么 a*p mod 2^32 就是所求的商

如果 a 不能被3整除呢？a*p＊3 = a (mod 2^32) 仍然成立。如何分辨呢？

设 a = 3q + r(保证 0 <= r 

ap = (2^33+1)q + pr，其中 pr 最大为 2*0xAAAAAAAB 

如果计算 ap 时，保留 64-bit 结果，那么右移33位就得到了 q，q 就是商，余数 r 可以是0～2

计算 q*3 就可以验证 a 是否是3的倍数

gcc/g++ 32位无符号数除以3的优化实现用到了以上方法

其实，gcc/g++ 对很多常数除法做了优化……

另外，(a+r)*p(规定 0 <= r 

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考虑数 4*a+b 和 a+b 模3同余，所以：c 和 (c >> 2) + (c & 3) 模3同余

对于 c >= 4，(c >> 2) + (c & 3) 至少比 c 小1

反复令 c = (c >> 2) + (c & 3)，当 c <= 3 时，判断 c 是否为0或3，是则原始的 c 被3整除

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设 c = 2*a+b = 3*a+b-a，那么如果 b-a 和 c 同余

设 c = 4*a+2*b+d = 3*a+3*b + a-b+d，a-b+d 和 c 同余

设 c = 8a+4b+2d+e = 9a+3b+3d -a +b -c +d，-a +b -c +d 和 c 同余

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二进制表示中，偶数位和 减去 奇数位和，与原数同余