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图与网络04—着色问题与旅行商问题
图与网络04—着色问题与旅行商问题
前面三篇都是比较基础的大概念,那从这篇blog开始要求加深对图论知识的掌握。
图与网络分析
- 图与网络04—着色问题与旅行商问题
- 前言
- 一、着色问题
- 二、旅行商(TSP)问题
- 1.修改圈近似算法
- 2.旅行商问题的数学规划模型
- 总结
前言
咕咕咕咕~~~~
一、着色问题
已知图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E),对图 G G G的所有顶点进行着色时,要求相邻的两顶点的颜色不一样,问至少需要几种颜色?这就是所谓的顶点着色问题。
若对图 G G G的所有边进行着色时,要求相邻的两条边的颜色不一样,问至少需要几种颜色?这就是所谓的边着色问题。
这些问题的提出是有实际背景的。值得注意的是,着色模型中的图是无向图。对于边着色问题可以转化为顶点着色问题。
直接上例题!!!
【例4.1】 物资存储问题
一家公司制造 n n n种化学制品 A 1 , A 2 , ⋯ , A n A_1,A_2,⋯,A_n A1,A2,⋯,An,其中有些化学制品若放在一起可能产生危险,如引发爆炸或产生毒气等,称这样的化学制品是不相容的。为安全起见,在存储这些化学制品时,不相容的不能放在同一储存室内。问至少需要多少个存储室才能存放这些化学制品?
【题目转换】 构造图 G G G,用顶点 v 1 , v 2 , ⋯ , v n v_1,v_2,⋯,v_n v1,v2,⋯,vn分别表示 n n n种化学制品,顶点 v i v_i vi与 v j v_j vj相邻,当且仅当化学制品 A i A_i Ai与 A j A_j Aj不相容。
于是存储问题就化为对图 G G G的顶点着色问题,对图 G G G的顶点最少着色数目便是最少需要的储存室数。
【例4.2】 无线交换设备的波长分配
有5台设备,要给每一台设备分配一个波长。如果两台设备靠得太近,则不能给它们分配相同的波长,以防干扰。已知 v 1 v_1 v1和 v 2 , v 4 , v 5 v_2,v_4,v_5 v2,v4,v5靠得近, v 2 v_2 v2和 v 3 , v 4 v_3,v_4 v3,v4靠得近, v 3 v_3 v3和 v 4 , v 5 v_4,v_5 v4,v5靠得近。问至少需要几个发射波长。
【题目转换】 以设备为顶点构造图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E),其中 V = v 1 , v 2 , ⋯ , v 5 V={v_1,v_2,⋯,v_5} V=v1,v2,⋯,v5, v 1 , v 2 , ⋯ , v 5 v_1,v_2,⋯,v_5 v1,v2,⋯,v5分别代表5台设备。 E E E为边集,如果两台设备靠得太近,则用一条边连接它们。于是图 G G G的着色给出一个波长分配方案:给着同一种颜色的设备同一个波长。画出着色图如图4.13所示,可知需要3个发射波长。
【定理4.1】 若图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E), Δ = max d ( v ) ∣ v ∈ V Δ=\max{ d(v)|v∈V} Δ=maxd(v)∣v∈V为图 G G G顶点的最大度数,则 χ ( G ) ≤ Δ + 1 χ(G)≤Δ+1 χ(G)≤Δ+1。
(对图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)的顶点进行着色所需最少的颜色数目用 χ ( G ) χ(G) χ(G)表示,称为图 G G G的色数。)
【例4.3】 会议安排
学校的学生会下设6个部门,部门的成员如下:部门1={张,李,王},部门2={李,赵,刘},部门3={张,刘,王},部门4={赵,刘,孙},部门5={张,王,孙},部门6={李,刘,王},每个月每个部门都要开一次会,为了确保每个人都能参加他所在部门的会议,这6个会议至少需要安排在几个不同的时段?
【题目转换】 构造图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E),其中 V = v 1 , v 2 , ⋯ , v 6 V={v_1,v_2,⋯,v_6} V=v1,v2,⋯,v6,这里 分别表示部门1,部门2,…,部门6; 为边集,两个顶点之间有一条边当且仅当它们代表的委员会成员中有共同的人,如图4.14所示,该图可以用4种颜色着色,可以看出至少要用4种颜色, v 1 , v 2 , v 3 v_1,v_2,v_3 v1,v2,v3构成一个三角形,必须用3种颜色, v 6 v_6 v6和这3个顶点都相邻,必须再用一种颜色。
着同一种颜色的顶点代表的部门会议可以安排在同一时间段,而不同颜色代表的部门会议必须安排在不同的时间,故这6个会议至少要安排在4个不同的时间,其中,部门1和部门4,部门2和部门5的会议可以安排在同一时间段。
定理4.1给出了色数的上界,着色算法目前还没有找到最优算法。下面给出例4.4计算色数的整数线性规划模型。
【定理4.4】 中顶点个数 n = 6 n=6 n=6,顶点的最大度 Δ = 5 Δ=5 Δ=5。引入 0 − 1 0-1 0−1变量
x i k = { 1 当 v j 着 第 k 种 颜 色 时 , 0 否 则 , i = 1 , 2 , . . . , n ; k = 1 , 2 , . . . x_{ik} = \begin{cases} 1 &当v_j着第k种颜色时, \\ 0 &否则, \\ \end{cases}i=1,2,...,n;k=1,2,... xik={10当vj着第k种颜色时,否则,i=1,2,...,n;k=1,2,...
设颜色总数为y,建立如下整数线性规划模型:
min y , \min y, miny,
x i k = { ∑ k = 1 Δ + 1 x j k = 1 i = 1 , 2 , . . . , n , x i k + x j k ≤ 1 , ( v i , v j ) ∈ E , k = 1 , 2 , . . . , Δ + 1 y ≥ ∑ k = 1 Δ + 1 k x i k i = 1 , 2 , . . . , n , x i k = 0 或 1 , i = 1 , 2 , . . . , n , k = 1 , 2 , . . . , Δ + 1 x_{ik} = \begin{cases} \sum_{k=1}^{Δ+1}{x_{jk}}=1 &i=1,2,...,n, \\ x_{ik}+x_{jk}≤1, &(v_i,v_j)∈E,k=1,2,...,Δ+1 \\ y≥\sum_{k=1}^{Δ+1}{kx_{ik}} &i=1,2,...,n, \\ x_{ik}=0或1,&i=1,2,...,n,k=1,2,...,Δ+1 \\ \end{cases} xik=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧∑k=1Δ+1xjk=1xik+xjk≤1,y≥∑k=1Δ+1kxikxik=0或1,i=1,2,...,n,(vi,vj)∈E,k=1,2,...,Δ+1i=1,2,...,n,i=1,2,...,n,k=1,2,...,Δ+1
代码如下:
clc, clear
s={{'张','李','王'};{'李','赵','刘'};{'张','刘','王'};{'赵','刘','孙'};{'张','王','孙'};{'李','刘','王'}};
n = length(s); w = zeros(n);
for i = 1:n-1for j =i+1:nif ~isempty(intersect(s{i},s{j}))w(i,j)=1;endend
end
[ni,nj] = find(w); %边的顶点编号
w = w + w'; %计算完整的邻接矩阵
deg = sum(w); K = max(deg) %顶点的最大度
prob = optimproblem;
x = optimvar('x',n,K+1, 'Type','integer','LowerBound',0,'UpperBound',1);
y = optimvar('y'); prob.Objective = y;
prob.Constraints.con1 = sum(x,2)==1;
prob.Constraints.con2 = x(ni,:)+x(nj,:)<=1;
prob.Constraints.con3 = x*[1:K+1]'<=y;
[sol, fval, flag, out] = solve(prob)
[i,k] = find(sol.x);
fprintf('顶点和颜色的对应关系如下:\n')
ik = [i'; k']
代码结果:
二、旅行商(TSP)问题
1.修改圈近似算法
【例4.4】 一名推销员准备前往若干城市推销产品,然后回到他的出发地。如何为他设计一条最短的旅行路线(从驻地出发,经过每个城市恰好一次,最后返回驻地)?这个问题称为旅行商问题。用图论的术语说,就是在一个赋权完全图中,找出一个有最小权的Hamilton圈(哈密顿回路)。称这种圈为最优圈。目前还没有求解旅行商问题的有效算法。所以希望有一个方法以获得相当好(但不一定最优)的解。
一个可行的办法是首先求一个Hamilton圈 C C C,然后适当修改C以得到具有较小权的另一个Hamilton圈。修改的方法叫做改良圈算法。设初始圈 C = v 1 v 2 ⋯ v n v 1 C=v_1 v_2⋯v_n v_1 C=v1v2⋯vnv1。
(1)对于 1 ≤ i < i + 1 < j ≤ n 1≤i<i+1<j≤n 1≤i<i+1<j≤n,构造新的Hamilton圈
C i j = v 1 v 2 ⋯ v i v j v j − 1 v j − 2 ⋯ v i + 1 v j + 1 v j + 2 ⋯ v n v 1 C_ij=v_1 v_2⋯v_i v_j v_{j-1} v_{j-2}⋯v_{i+1} v_{j+1} v_{j+2}⋯v_n v_1 Cij=v1v2⋯vivjvj−1vj−2⋯vi+1vj+1vj+2⋯vnv1,
它是由C中删去边 v i v i + 1 v_i v_{i+1} vivi+1和 v j v j + 1 v_j v_{j+1} vjvj+1,添加边 v i v j v_i v_j vivj和 v i + 1 v j + 1 v_{i+1} v_{j+1} vi+1vj+1而得到的。若
w ( v i v j ) + w ( v i + 1 v j + 1 ) < w ( v i v i + 1 ) + w ( v j v j + 1 ) w(v_i v_j)+w(v_{i+1} v_{j+1})<w(v_i v_{i+1})+w(v_j v_{j+1}) w(vivj)+w(vi+1vj+1)<w(vivi+1)+w(vjvj+1),
则以 C i j C_{ij} Cij代替 C C C, C i j C_{ij} Cij叫做 C C C的改良圈。
(2)转(1),直至无法改进,停止。
用改良圈算法得到的结果几乎可以肯定不是最优的。为了得到更高的精确度,可以选择不同的初始圈,重复进行几次,以求得较精确的结果。
圈的修改过程一次替换三条边比一次仅替换两条边更有效;然而,有点奇怪的是,进一步推广这一想法,就不对了。
【例4.5】 从北京(Pe)乘飞机到东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa)五城市做旅游,每城市恰去一次再回北京,应如何安排旅游线,使旅程最短?用修改圈算法,求一个近似解。各城市之间的航线距离如表4.6。
【解】 求得近似圈为 5 → 4 → 1 → 3 → 2 → 6 → 5 5→4→1→3→2→6→5 5→4→1→3→2→6→5;近似圈的长度为211。
实际上可以用数学规划模型求得精确的最短圈长度为211,这里的近似算法凑巧求出了准确解。
代码结果:
clc, clear, a=readmatrix ('data4_21.xlsx');
a(isnan(a))=0 %对角线元素替换为0
L=size(a,1); c=[5 1:4 6 5]; %选取初始圈
[circle,long]=modifycircle(a,L,c) %调用下面修改圈的子函数function [circle,long]=modifycircle(a,L,c)
for k=1:Lflag=0; %退出标志for i=1:L-2for j=i+2:Lif a(c(i),c(j))+a(c(i+1),c(j+1))<...a(c(i),c(i+1))+a(c(j),c(j+1))c(i+1:j)=c(j:-1:i+1); flag=flag+1; %修改一次,标志加1endendendif flag==0 %一条边也没有修改,就返回long=0; %圈长的初始值for i=1:Llong=long+a(c(i),c(i+1)); %求改良圈的长度endcircle=c; %返回修改圈returnend
end
end
代码结果:
2.旅行商问题的数学规划模型
旅行商的 0 − 1 0-1 0−1整数规划模型在之前的整数规划中已经给出了,这里就不再赘述了。
有关内容可以阅读这篇blog:
整数规划(数学+软件)
【例4.6】 已知SV地区各城镇之间距离见表4.7,某公司计划在SV地区做广告宣传,推销员从城市1出发,经过各个城镇,再回到城市1。为节约开支,公司希望推销员走过这10个城镇的总距离最少。
【解】 求得的最短路径为
1 → 3 → 7 → 9 → 10 → 8 → 4 → 5 → 6 → 2 → 1 1→3→7→9→10→8→4→5→6→2→1 1→3→7→9→10→8→4→5→6→2→1,
最短路径长度为73。
代码如下(示例):
clc, clear, a=readmatrix('data4_22.xlsx');
a(isnan(a))=0; %把NaN替换为0
b=zeros(10); %邻接矩阵初始化
b([1:end-1],[2:end])=a; %邻接矩阵上三角元素赋值
b=b+b'; %构造完整的邻接矩阵
n=10; b([1:n+1:end])=1000000; %对角线元素换为充分大
prob=optimproblem;
x=optimvar('x',n,n,'Type','integer','LowerBound',0,'UpperBound',1);
u=optimvar('u',n,'LowerBound',0) %序号变量
prob.Objective=sum(sum(b.*x));
prob.Constraints.con1=[sum(x,2)==1; sum(x,1)'==1; u(1)==0];
con2 = [1<=u(2:end); u(2:end)<=14];
for i=1:nfor j=2:ncon2 = [con2; u(i)-u(j)+n*x(i,j)<=n-1];end
end
prob.Constraints.con2 = con2;
[sol, fval, flag]=solve(prob)
xx=sol.x; [i,j]=find(xx);
fprintf('xij=1对应的行列位置如下:\n')
ij=[i'; j']
代码结果:
总结
以上就是有关着色问题与旅行商问题的内容,这两个大问题也是图论问题的经典,可以吸收理解得再深刻一点!更多推荐
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