Coursera机器学习第二周学习笔记——Linear Regression with Multiple Variables

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Coursera机器学习第二周学习笔记——Linear Regression with Multiple Variables

1.Linear Regression with Multiple Variables（多变量线性回归）

1.1多维特征（Multiple features）

前面都是单变量的回归模型，通过对模型增加更多的特征，就可以构成一个含有多个变量的模型，模型中的特征为（x1,x2,...,xn）。 以房价举例，前面在单变量的学习中只是用到了房屋的尺寸作为x来预测房价y，现在可以增加房间数、楼层数、房屋年龄等因素来作为特征预测房价y。如下面两页ppt所示。 在这里，我们引入了新的注释： n 表示特征的数量 x^(i)代表第 i 个训练实例，是特征矩阵中的第i 行，是一个向量（vector）。
x^(i)_j表示训练样本中第i行的第j个特征。
例如，上图中的x^(3)=[1534 3 2 30]T。

多变量的假设函数h可以表示为下式（第一次用在线LaTex编辑公式，不知道好不好用，链接在后面在线LaTex公式编辑器）

1.2多变量梯度下降（Gradient descent for multiple variables）

在多变量线性回归中，我们同样也构建代价函数，此函数为所有建模误差的平方和。
找出是的代价函数最小的一系列参数。 多变量线性回归的批量梯度下降算法为：

新旧算法对比为：

1.3Gradient descent in practice I: Feature Scaling 

确保这些特征都具有相近的尺度，这能够使梯度下降算法更快地收敛。尽可能的把所有特征的尺度都缩放到-1到1之间。

1.4 Gradient descent in practice II: Learning rate

梯度下降算法的每次迭代都受到学习率的影响，如果学习率α太小，则达到收敛的迭代次数会很高；如果α过大，每次迭代可能不会减少代价函数，可能会越过局部最小值而无法收敛。

1.5 Features and polynomial regression 

线性回归并不适用于所有数据，有时我们需要曲线来适应我们的数据，可以使用二次方程或者三次及更高次幂的方程。

1.6 Normal equation

到目前为止，我们都在使用梯度下降算法，但是对于某些线性回归问题，正则方程方法是更好的解决方案。





只要特征变量的数目并不大，正则方程是一个很好的计算θ的替代方案。只要特征变量的数量小于一万，可以使用正则方程法。但是由于求逆运算计算量较大，所以数据维度高时，使用梯度下降算法。