UA MATH523A 实分析2 测度论基础4 乘积Sigma代数

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UA MATH523A 实分析2 测度论基础4 乘积Sigma代数

UA MATH523A 实分析2 测度论基础4 乘积Sigma代数

假设 A A A是非空指标集， { X α } α ∈ A \{X_{\alpha}\}_{\alpha \in A} {Xα​}α∈A​是一列非空集合，记
X = ∏ α ∈ A X α X = \prod_{\alpha \in A} X_{\alpha} X=α∈A∏​Xα​

定义coordinate map：
π α : X → X α , ∀ α ∈ A \pi_{\alpha}:X \to X_{\alpha},\forall \alpha \in A πα​:X→Xα​,∀α∈A

记 M α \mathcal{M}_{\alpha} Mα​是 X α X_{\alpha} Xα​上的 σ \sigma σ-代数（这个结论可以推广， M α \mathcal{M}_{\alpha} Mα​可以是包含 X α X_{\alpha} Xα​的一个集列即可），接下来我们想讨论的问题是如何在 X X X上定义 σ \sigma σ-代数。

一个可行的操作是基于coordinate map的preimage来定义，考虑集列
E = { π α − 1 ( E α ) : E α ∈ M α , ∀ α ∈ A } \mathcal{E}=\{\pi^{-1}_{\alpha}(E_{\alpha}):E_{\alpha} \in \mathcal{M}_{\alpha},\forall \alpha \in A\} E={πα−1​(Eα​):Eα​∈Mα​,∀α∈A}

基于这个集列生成的 σ \sigma σ-代数 σ ( E ) \sigma(\mathcal{E}) σ(E)，它就是一个 X X X上的 σ \sigma σ-代数，记为 M \mathcal{M} M，称这个 σ \sigma σ-代数为乘积 σ \sigma σ-代数。通常记这个 σ \sigma σ-代数为
M = ⊗ α ∈ A M α \mathcal{M} = \otimes_{\alpha \in A}\mathcal{M}_{\alpha} M=⊗α∈A​Mα​

可以验证
M = σ ( E ~ ) ,   E ~ = { ∏ α ∈ A