微积分Z1J2 集合

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微积分Z1J2 集合

简介

集合是一种特殊的理论，更准确地说是一种看待事物的方式，你不仅仅可以通过集合论来研究数学，甚至于逻辑学，经济学都可以使用到集合或者其思想。

集合部分主要介绍下面的内容：

• 集合是什么？
• 如何表示集合？
• 集合的分类
• 集合的运算法则

集合是什么？

由一组确定的对象汇聚而成的总体，或者是具有特定性质的对象的总体，叫做集合。
其中这些对象为元素。
元素遵循三原则：

1. 确定性：元素一定是确定而非模糊的
2. 互异性：同一个集合内的元素互不相同
3. 无序性：同一个集合内的元素没有次序之分

如何表示集合？

有三种方法：枚举法，特征法，区间法。

• 枚举法：将集合内的元素一一列出来，然后用花括号括起来。例如 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , { 姚 明 ， 项 羽 ， 姚 晨 } \{1,2,3,4,5,6\},\{姚明，项羽，姚晨\} {1,2,3,4,5,6},{姚明，项羽，姚晨}。这种方法只适合元素有限的集合。
• 特征法：将元素所具有的特定性质所描述出来，并用花括号括起来。例如： { x ∣ x = 2 k − 1 , k ∈ Z } \{x|x=2k-1,k\in Z\} {x∣x=2k−1,k∈Z}表示所有的奇数构成的集合。这种方法一般用于元素无穷的集合。
• 区间法：只适用于数集。具体是以区间来表示集合内的数字。如从0到100并包括0和100的集合可表示为 [ 0 , 100 ] [0,100] [0,100]。

集合的分类

集合分为有限集和无限集。

• 有限集：元素有限的集合
• 无限集：元素无限的集合

集合的运算法则

集合的基本运算包括交、并、差，此外集合运算还有直积（也叫做笛卡尔乘积）。

• 交:求两集合共有的元素所组成的集合。符号为 ∩ \cap ∩. A ∩ B = { x ∣ x ∈ A , 且 x ∈ B } A\cap B=\{x|x\in A,且x\in B\} A∩B={x∣x∈A,且x∈B}
• 并:求两集合所有元素共同组成的集合，重复的元素只出现一次。 A ∪ B = { x ∈ A 或 x ∈ B } A\cup B=\{x\in A或x\in B\} A∪B={x∈A或x∈B}
• 差：将研究涉及的总体集合设为 C C C，研究的集合设为 A A A，则 C C C以内 A A A以外的元素所构成的集合为差集。 I ∖ A = { x ∣ x ∈ C , 且 x ∉ x } I\setminus A=\{x|x \in C,且x \notin x\} I∖A={x∣x∈C,且x∈/​x}
• 直积:在集合A，B内分别取一个元素x,y，组成一个有序数对， （ x , y ） （x,y） （x,y）.这样的有序数对组成的集合就是直积。 A A AX B = { ( x , y ) ∣ x ∈ A , y ∈ B } B=\{(x,y)|x\in A,y\in B\} B={(x,y)∣x∈A,y∈B}