[ 转自 果壳 原著matrix67 ]Android计算器低级错误？都是二进制惹的祸！

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Android 计算器惊现超级大 bug！在 Android 的计算器程序里输入 14.52 - 14.49，计算器竟然说它等于 0.0299999999！其实，这已经是计算机的老毛病了。计算机用二进制来表示数，将会不可避免地产生误差。

听说了 Android 的超级大 bug，我立即在自己的 HTC Hero 上试了一下，果然正如众人所说， 14.52 - 14.49 = 0.0299999999。稍作试验便可发现，一些更为简单的算式也会出现类似的问题，例如在 Android 计算器中输入 1.2 - 1.1，结果等于 0.0999999999。这是为什么呢？

都是二进制惹的祸

原来，在计算机内部，数字并不是用十进制来储存的，所有数字都是以二进制的方式储存的。但一个进制下的有限小数，很可能是另一个进制下的无限小数。比方说，把十进制小数 1.2 转换成二进制小数，将会得到一个无限循环小数 1.001100110011…；把 1.1 转换成二进制小数则是 1.0001100110011…，也是一个无限循环小数。计算机显然不能储存无穷多位数，因而不得不近似地截取有限多位。如果保留 52 位数的话，那么在计算机看来，1.2 - 1.1 其实是这样：

问题出现了：在显示计算结果的时候，计算机需要把它转换回十进制。但上面的结果转换成十进制并不是精确的 0.1，而是一个 52 位小数 0.09999999999999986677323704 49812151491641998291015625。由于 2 的 -52 次方约为 10 的 -16 次方，也就是说 52 位二进制小数的精度大约相当于 16 位十进制小数，因此计算机上通常只保留这个小数的 16 位有效数字。因此，上面这个小数也就成了 0.09999999999999987。

不只是 Android 的问题

你会发现，这样的问题在电脑里到处都有。例如，在你的浏览器地址栏里输入

javascript:alert(1.2-1.1)

你就会看见这个诡异的答案：0.09999999999999987。即使是专业的数学软件中，小数精度的问题也是不可避免的。在 Mathematica 中输入 1.2 - 1.1，答案似乎是没错：

但是，输入 InputForm[%] 查看这个 0.1 的真身，你会发现原来它也不是精确的：

也就是说，Mathematica 发现这个小数太接近 0.1，便猜测这个数真的就是 0.1，于是智能地帮我们化简了。很多计算器类的软件也有自动化简的功能，只是 Android 上的计算器做得似乎还不够好，偶尔会出现失误罢了。

其实，这个问题还不算离谱。在我的 Android 手机上输入 1.2 - 1.1 - 0.1，会得到一个更加诡异的结果：-1.38777E-16，也就是 -1.38777 × 10 ^-16 。这也是由于二进制表达的误差造成的。不过，较新的 Android 系统上似乎没有出现这个问题，可见 Android 处理小数的算法也是在不断改进的。

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